Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65009 / 69354
↖ ↑ ↗
← S 10.428391°
W  1.447449°		 ← 300.38 m → S 10.428391°
W  1.444702°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.431092°
W  1.447449°		 ← 300.38 m →
90 213 m²		 S 10.431092°
W  1.444702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495983123779297 y=0.529132843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495983123779297 × 217)
    floor (0.495983123779297 × 131072)
    floor (65009.5)     		tx = 65009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529132843017578 × 217)
    floor (0.529132843017578 × 131072)
    floor (69354.5)     		ty = 69354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65009 / 69354 ti = "17/65009/69354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65009/69354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65009 ÷ 217
    65009 ÷ 131072     		x = 0.495979309082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69354 ÷ 217
    69354 ÷ 131072     		y = 0.529129028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495979309082031 × 2 - 1) × π
    -0.0080413818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02526275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529129028320312 × 2 - 1) × π
    -0.058258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.183023082749374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02526275} λ = -0.02526275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183023082749374))-π/2
    2×atan(0.832748933380318)-π/2
    2×0.694393285281062-π/2
    1.38878657056212-1.57079632675     		φ = -0.18200976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02526275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.447449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18200976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.428391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65009 KachelY 69354 -0.02526275 -0.18200976 -1.447449 -10.428391
    Oben rechts KachelX + 1 65010 KachelY 69354 -0.02521481 -0.18200976 -1.444702 -10.428391
    Unten links KachelX 65009 KachelY + 1 69355 -0.02526275 -0.18205690 -1.447449 -10.431092
    Unten rechts KachelX + 1 65010 KachelY + 1 69355 -0.02521481 -0.18205690 -1.444702 -10.431092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18200976--0.18205690) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18200976--0.18205690) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02526275--0.02521481) × cos(-0.18200976) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983481899616646 × 6371000     		do = 300.380686967018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02526275--0.02521481) × cos(-0.18205690) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983473365877491 × 6371000     		du = 300.378080543422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18200976)-sin(-0.18205690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983481899616646-0.983473365877491)×R²
    abs(-0.02521481--0.02526275)×8.53373915454814e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.53373915454814e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.53373915454814e-06×40589641000000     		ar = 90212.6219377812m²