Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65008 / 69201
↖ ↑ ↗
← S 10.014834°
W  1.450195°		 ← 300.71 m → S 10.014834°
W  1.447449°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S 10.017539°
W  1.450195°		 ← 300.71 m →
90 445 m²		 S 10.017539°
W  1.447449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495975494384766 y=0.527965545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495975494384766 × 217)
    floor (0.495975494384766 × 131072)
    floor (65008.5)     		tx = 65008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527965545654297 × 217)
    floor (0.527965545654297 × 131072)
    floor (69201.5)     		ty = 69201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65008 / 69201 ti = "17/65008/69201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65008/69201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65008 ÷ 217
    65008 ÷ 131072     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69201 ÷ 217
    69201 ÷ 131072     		y = 0.527961730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527961730957031 × 2 - 1) × π
    -0.0559234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.175688737107506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175688737107506))-π/2
    2×atan(0.83887905462506)-π/2
    2×0.698002247103858-π/2
    1.39600449420772-1.57079632675     		φ = -0.17479183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17479183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.014834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65008 KachelY 69201 -0.02531068 -0.17479183 -1.450195 -10.014834
    Oben rechts KachelX + 1 65009 KachelY 69201 -0.02526275 -0.17479183 -1.447449 -10.014834
    Unten links KachelX 65008 KachelY + 1 69202 -0.02531068 -0.17483904 -1.450195 -10.017539
    Unten rechts KachelX + 1 65009 KachelY + 1 69202 -0.02526275 -0.17483904 -1.447449 -10.017539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17479183--0.17483904) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17479183--0.17483904) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02526275) × cos(-0.17479183) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.984762761659236 × 6371000     		do = 300.709155968659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02526275) × cos(-0.17483904) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.984754550594432 × 6371000     		du = 300.706648621242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17479183)-sin(-0.17483904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984762761659236-0.984754550594432)×R²
    abs(-0.02526275--0.02531068)×8.21106480397571e-06×R²
    4.79299999999981e-05×8.21106480397571e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×8.21106480397571e-06×40589641000000     		ar = 90445.3922658196m²