Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65001 / 69371
↖ ↑ ↗
← S 10.474308°
W  1.469421°		 ← 300.34 m → S 10.474308°
W  1.466675°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.477009°
W  1.469421°		 ← 300.33 m →
90 199 m²		 S 10.477009°
W  1.466675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495922088623047 y=0.529262542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495922088623047 × 217)
    floor (0.495922088623047 × 131072)
    floor (65001.5)     		tx = 65001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529262542724609 × 217)
    floor (0.529262542724609 × 131072)
    floor (69371.5)     		ty = 69371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65001 / 69371 ti = "17/65001/69371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65001/69371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65001 ÷ 217
    65001 ÷ 131072     		x = 0.495918273925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69371 ÷ 217
    69371 ÷ 131072     		y = 0.529258728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495918273925781 × 2 - 1) × π
    -0.0081634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02564624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529258728027344 × 2 - 1) × π
    -0.0585174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183838010042915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02564624} λ = -0.02564624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183838010042915))-π/2
    2×atan(0.832070579987728)-π/2
    2×0.693992581756371-π/2
    1.38798516351274-1.57079632675     		φ = -0.18281116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02564624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.469421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18281116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.474308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65001 KachelY 69371 -0.02564624 -0.18281116 -1.469421 -10.474308
    Oben rechts KachelX + 1 65002 KachelY 69371 -0.02559830 -0.18281116 -1.466675 -10.474308
    Unten links KachelX 65001 KachelY + 1 69372 -0.02564624 -0.18285830 -1.469421 -10.477009
    Unten rechts KachelX + 1 65002 KachelY + 1 69372 -0.02559830 -0.18285830 -1.466675 -10.477009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18281116--0.18285830) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18281116--0.18285830) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02564624--0.02559830) × cos(-0.18281116) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983336525206232 × 6371000     		do = 300.336285880141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02564624--0.02559830) × cos(-0.18285830) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983327954316008 × 6371000     		du = 300.333668109652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18281116)-sin(-0.18285830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983336525206232-0.983327954316008)×R²
    abs(-0.02559830--0.02564624)×8.5708902242132e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.5708902242132e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.5708902242132e-06×40589641000000     		ar = 90199.2853025033m²