Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 650 / 946
↖ ↑ ↗
← N 69.099940°
W122.871094°		 ← 3 486.41 m → N 69.099940°
W122.783203°		 →
↑
3 488.89 m
↓
↑
3 488.89 m
↓
N 69.068563°
W122.871094°		 ← 3 491.40 m →
12 172 395 m²		 N 69.068563°
W122.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1588134765625 y=0.2310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1588134765625 × 212)
    floor (0.1588134765625 × 4096)
    floor (650.5)     		tx = 650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2310791015625 × 212)
    floor (0.2310791015625 × 4096)
    floor (946.5)     		ty = 946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 650 / 946 ti = "12/650/946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/650/946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 650 ÷ 212
    650 ÷ 4096     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 946 ÷ 212
    946 ÷ 4096     		y = 0.23095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69044682820166))-π/2
    2×atan(5.42190282304361)-π/2
    2×1.3884088935114-π/2
    2.7768177870228-1.57079632675     		φ = 1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 650 KachelY 946 -2.14450514 1.20602146 -122.871094 69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 651 KachelY 946 -2.14297116 1.20602146 -122.783203 69.099940
    Unten links KachelX 650 KachelY + 1 947 -2.14450514 1.20547384 -122.871094 69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 651 KachelY + 1 947 -2.14297116 1.20547384 -122.783203 69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20602146-1.20547384) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dl = 3488.88702000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20602146-1.20547384) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dr = 3488.88702000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.20602146) × R
    0.00153398000000005 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 3486.40529495038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.20547384) × R
    0.00153398000000005 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 3491.40452288632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20602146)-sin(1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.357250518488506)×R²
    abs(-2.14297116--2.14450514)×0.0005115353321129×R²
    0.00153398000000005×0.0005115353321129×6371000²
    0.00153398000000005×0.0005115353321129×40589641000000     		ar = 12172395.3549347m²