Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 650 / 393
↖ ↑ ↗
← N 80.969904°
W122.871094°		 ← 1 533.90 m → N 80.969904°
W122.783203°		 →
↑
1 535.09 m
↓
↑
1 535.09 m
↓
N 80.956099°
W122.871094°		 ← 1 536.23 m →
2 356 466 m²		 N 80.956099°
W122.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1588134765625 y=0.0960693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1588134765625 × 212)
    floor (0.1588134765625 × 4096)
    floor (650.5)     		tx = 650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960693359375 × 212)
    floor (0.0960693359375 × 4096)
    floor (393.5)     		ty = 393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 650 / 393 ti = "12/650/393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/650/393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 650 ÷ 212
    650 ÷ 4096     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 393 ÷ 212
    393 ÷ 4096     		y = 0.095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095947265625 × 2 - 1) × π
    0.80810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53873820387817))-π/2
    2×atan(12.6636819007715)-π/2
    2×1.4919938735929-π/2
    2.9839877471858-1.57079632675     		φ = 1.41319142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41319142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.969904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 650 KachelY 393 -2.14450514 1.41319142 -122.871094 80.969904
    Oben rechts KachelX + 1 651 KachelY 393 -2.14297116 1.41319142 -122.783203 80.969904
    Unten links KachelX 650 KachelY + 1 394 -2.14450514 1.41295047 -122.871094 80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 651 KachelY + 1 394 -2.14297116 1.41295047 -122.783203 80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41319142-1.41295047) × R
    0.000240950000000018 × 6371000     		dl = 1535.09245000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41319142-1.41295047) × R
    0.000240950000000018 × 6371000     		dr = 1535.09245000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.41319142) × R
    0.00153398000000005 × 0.156953250554634 × 6371000     		do = 1533.90201135787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.41295047) × R
    0.00153398000000005 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 1536.22758259855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41319142)-sin(1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156953250554634-0.157191209669962)×R²
    abs(-2.14297116--2.14450514)×0.000237959115327147×R²
    0.00153398000000005×0.000237959115327147×6371000²
    0.00153398000000005×0.000237959115327147×40589641000000     		ar = 2356466.39149944m²