Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 650 / 386
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
W122.871094°		 ← 1 517.72 m → N 81.065957°
W122.783203°		 →
↑
1 518.91 m
↓
↑
1 518.91 m
↓
N 81.052297°
W122.871094°		 ← 1 520.02 m →
2 307 027 m²		 N 81.052297°
W122.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1588134765625 y=0.0943603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1588134765625 × 212)
    floor (0.1588134765625 × 4096)
    floor (650.5)     		tx = 650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943603515625 × 212)
    floor (0.0943603515625 × 4096)
    floor (386.5)     		ty = 386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 650 / 386 ti = "12/650/386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/650/386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 650 ÷ 212
    650 ÷ 4096     		x = 0.15869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 386 ÷ 212
    386 ÷ 4096     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    -0.6826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14450514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14450514} λ = -2.14450514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14450514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.871094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 650 KachelY 386 -2.14450514 1.41486786 -122.871094 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 651 KachelY 386 -2.14297116 1.41486786 -122.783203 81.065957
    Unten links KachelX 650 KachelY + 1 387 -2.14450514 1.41462945 -122.871094 81.052297
    Unten rechts KachelX + 1 651 KachelY + 1 387 -2.14297116 1.41462945 -122.783203 81.052297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41462945) × R
    0.000238409999999911 × 6371000     		dl = 1518.91010999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41462945) × R
    0.000238409999999911 × 6371000     		dr = 1518.91010999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.41486786) × R
    0.00153398000000005 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 1517.71909842523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14450514--2.14297116) × cos(1.41462945) × R
    0.00153398000000005 × 0.155532881655793 × 6371000     		du = 1520.02076517084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41462945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155532881655793)×R²
    abs(-2.14297116--2.14450514)×0.00023551313887224×R²
    0.00153398000000005×0.00023551313887224×6371000²
    0.00153398000000005×0.00023551313887224×40589641000000     		ar = 2307026.9061146m²