Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64996 / 69370
↖ ↑ ↗
← S 10.471607°
W  1.483155°		 ← 300.34 m → S 10.471607°
W  1.480408°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.474308°
W  1.483155°		 ← 300.34 m →
90 200 m²		 S 10.474308°
W  1.480408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495883941650391 y=0.529254913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495883941650391 × 217)
    floor (0.495883941650391 × 131072)
    floor (64996.5)     		tx = 64996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529254913330078 × 217)
    floor (0.529254913330078 × 131072)
    floor (69370.5)     		ty = 69370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64996 / 69370 ti = "17/64996/69370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64996/69370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64996 ÷ 217
    64996 ÷ 131072     		x = 0.495880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69370 ÷ 217
    69370 ÷ 131072     		y = 0.529251098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.00823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02588593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529251098632812 × 2 - 1) × π
    -0.058502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.183790073143295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02588593} λ = -0.02588593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183790073143295))-π/2
    2×atan(0.83211046782764)-π/2
    2×0.694016150911197-π/2
    1.38803230182239-1.57079632675     		φ = -0.18276402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02588593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.483155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18276402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.471607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64996 KachelY 69370 -0.02588593 -0.18276402 -1.483155 -10.471607
    Oben rechts KachelX + 1 64997 KachelY 69370 -0.02583799 -0.18276402 -1.480408 -10.471607
    Unten links KachelX 64996 KachelY + 1 69371 -0.02588593 -0.18281116 -1.483155 -10.474308
    Unten rechts KachelX + 1 64997 KachelY + 1 69371 -0.02583799 -0.18281116 -1.480408 -10.474308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18276402--0.18281116) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18276402--0.18281116) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02588593--0.02583799) × cos(-0.18276402) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983345093911306 × 6371000     		do = 300.338902983229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02588593--0.02583799) × cos(-0.18281116) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983336525206232 × 6371000     		du = 300.336285880141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18276402)-sin(-0.18281116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983345093911306-0.983336525206232)×R²
    abs(-0.02583799--0.02588593)×8.56870507393026e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.56870507393026e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.56870507393026e-06×40589641000000     		ar = 90200.0713945287m²