Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64992 / 69374
↖ ↑ ↗
← S 10.482411°
W  1.494140°		 ← 300.27 m → S 10.482411°
W  1.491394°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.485111°
W  1.494140°		 ← 300.26 m →
90 159 m²		 S 10.485111°
W  1.491394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495853424072266 y=0.529285430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495853424072266 × 217)
    floor (0.495853424072266 × 131072)
    floor (64992.5)     		tx = 64992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529285430908203 × 217)
    floor (0.529285430908203 × 131072)
    floor (69374.5)     		ty = 69374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64992 / 69374 ti = "17/64992/69374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64992/69374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64992 ÷ 217
    64992 ÷ 131072     		x = 0.495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69374 ÷ 217
    69374 ÷ 131072     		y = 0.529281616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529281616210938 × 2 - 1) × π
    -0.058563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.183981820741776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02607767} λ = -0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183981820741776))-π/2
    2×atan(0.831950927939948)-π/2
    2×0.693921875524474-π/2
    1.38784375104895-1.57079632675     		φ = -0.18295258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18295258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.482411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64992 KachelY 69374 -0.02607767 -0.18295258 -1.494140 -10.482411
    Oben rechts KachelX + 1 64993 KachelY 69374 -0.02602974 -0.18295258 -1.491394 -10.482411
    Unten links KachelX 64992 KachelY + 1 69375 -0.02607767 -0.18299971 -1.494140 -10.485111
    Unten rechts KachelX + 1 64993 KachelY + 1 69375 -0.02602974 -0.18299971 -1.491394 -10.485111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18295258--0.18299971) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18295258--0.18299971) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02607767--0.02602974) × cos(-0.18295258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983310805980184 × 6371000     		do = 300.265783835055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02607767--0.02602974) × cos(-0.18299971) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983302230354424 × 6371000     		du = 300.263165164564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18295258)-sin(-0.18299971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983310805980184-0.983302230354424)×R²
    abs(-0.02602974--0.02607767)×8.5756257608427e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.5756257608427e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.5756257608427e-06×40589641000000     		ar = 90158.9815132624m²