Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64991 / 69375
↖ ↑ ↗
← S 10.485111°
W  1.496887°		 ← 300.33 m → S 10.485111°
W  1.494140°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.487812°
W  1.496887°		 ← 300.32 m →
90 196 m²		 S 10.487812°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495845794677734 y=0.529293060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495845794677734 × 217)
    floor (0.495845794677734 × 131072)
    floor (64991.5)     		tx = 64991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529293060302734 × 217)
    floor (0.529293060302734 × 131072)
    floor (69375.5)     		ty = 69375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64991 / 69375 ti = "17/64991/69375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64991/69375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64991 ÷ 217
    64991 ÷ 131072     		x = 0.495841979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69375 ÷ 217
    69375 ÷ 131072     		y = 0.529289245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495841979980469 × 2 - 1) × π
    -0.0083160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02612561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529289245605469 × 2 - 1) × π
    -0.0585784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.184029757641396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02612561} λ = -0.02612561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184029757641396))-π/2
    2×atan(0.8319110477477)-π/2
    2×0.693898307191537-π/2
    1.38779661438307-1.57079632675     		φ = -0.18299971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02612561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.496887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18299971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.485111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64991 KachelY 69375 -0.02612561 -0.18299971 -1.496887 -10.485111
    Oben rechts KachelX + 1 64992 KachelY 69375 -0.02607767 -0.18299971 -1.494140 -10.485111
    Unten links KachelX 64991 KachelY + 1 69376 -0.02612561 -0.18304685 -1.496887 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 64992 KachelY + 1 69376 -0.02607767 -0.18304685 -1.494140 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18299971--0.18304685) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18299971--0.18304685) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02612561--0.02607767) × cos(-0.18299971) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983302230354424 × 6371000     		do = 300.325811349649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02612561--0.02607767) × cos(-0.18304685) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 300.323190909755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18299971)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983302230354424-0.983293650724252)×R²
    abs(-0.02607767--0.02612561)×8.57963017175667e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.57963017175667e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.57963017175667e-06×40589641000000     		ar = 90196.1390969726m²