Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64989 / 69377
↖ ↑ ↗
← S 10.490512°
W  1.502380°		 ← 300.26 m → S 10.490512°
W  1.499634°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.493213°
W  1.502380°		 ← 300.26 m →
90 176 m²		 S 10.493213°
W  1.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495830535888672 y=0.529308319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495830535888672 × 217)
    floor (0.495830535888672 × 131072)
    floor (64989.5)     		tx = 64989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529308319091797 × 217)
    floor (0.529308319091797 × 131072)
    floor (69377.5)     		ty = 69377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64989 / 69377 ti = "17/64989/69377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64989/69377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64989 ÷ 217
    64989 ÷ 131072     		x = 0.495826721191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69377 ÷ 217
    69377 ÷ 131072     		y = 0.529304504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495826721191406 × 2 - 1) × π
    -0.0083465576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02622148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529304504394531 × 2 - 1) × π
    -0.0586090087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.184125631440636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02622148} λ = -0.02622148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184125631440636))-π/2
    2×atan(0.831831293098175)-π/2
    2×0.69385117114251-π/2
    1.38770234228502-1.57079632675     		φ = -0.18309398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02622148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.502380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18309398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.490512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64989 KachelY 69377 -0.02622148 -0.18309398 -1.502380 -10.490512
    Oben rechts KachelX + 1 64990 KachelY 69377 -0.02617355 -0.18309398 -1.499634 -10.490512
    Unten links KachelX 64989 KachelY + 1 69378 -0.02622148 -0.18314112 -1.502380 -10.493213
    Unten rechts KachelX + 1 64990 KachelY + 1 69378 -0.02617355 -0.18314112 -1.499634 -10.493213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18309398--0.18314112) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18309398--0.18314112) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02622148--0.02617355) × cos(-0.18309398) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.983285070729752 × 6371000     		do = 300.257925266719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02622148--0.02617355) × cos(-0.18314112) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.983276486729953 × 6371000     		du = 300.255304039115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18309398)-sin(-0.18314112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983285070729752-0.983276486729953)×R²
    abs(-0.02617355--0.02622148)×8.58399979919433e-06×R²
    4.79299999999981e-05×8.58399979919433e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×8.58399979919433e-06×40589641000000     		ar = 90175.7508233655m²