Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64973 / 69365
↖ ↑ ↗
← S 10.458103°
W  1.546325°		 ← 300.29 m → S 10.458103°
W  1.543579°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.460804°
W  1.546325°		 ← 300.29 m →
90 185 m²		 S 10.460804°
W  1.543579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495708465576172 y=0.529216766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495708465576172 × 217)
    floor (0.495708465576172 × 131072)
    floor (64973.5)     		tx = 64973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529216766357422 × 217)
    floor (0.529216766357422 × 131072)
    floor (69365.5)     		ty = 69365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64973 / 69365 ti = "17/64973/69365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64973/69365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64973 ÷ 217
    64973 ÷ 131072     		x = 0.495704650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69365 ÷ 217
    69365 ÷ 131072     		y = 0.529212951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495704650878906 × 2 - 1) × π
    -0.0085906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02698847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529212951660156 × 2 - 1) × π
    -0.0584259033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.183550388645195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02698847} λ = -0.02698847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183550388645195))-π/2
    2×atan(0.83230993571121)-π/2
    2×0.694133999764506-π/2
    1.38826799952901-1.57079632675     		φ = -0.18252833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02698847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.546325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18252833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.458103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64973 KachelY 69365 -0.02698847 -0.18252833 -1.546325 -10.458103
    Oben rechts KachelX + 1 64974 KachelY 69365 -0.02694054 -0.18252833 -1.543579 -10.458103
    Unten links KachelX 64973 KachelY + 1 69366 -0.02698847 -0.18257547 -1.546325 -10.460804
    Unten rechts KachelX + 1 64974 KachelY + 1 69366 -0.02694054 -0.18257547 -1.543579 -10.460804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18252833--0.18257547) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18252833--0.18257547) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02698847--0.02694054) × cos(-0.18252833) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983387902843589 × 6371000     		do = 300.289326289771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02698847--0.02694054) × cos(-0.18257547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983379345064089 × 6371000     		du = 300.286713068851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18252833)-sin(-0.18257547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983387902843589-0.983379345064089)×R²
    abs(-0.02694054--0.02698847)×8.55777950015124e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.55777950015124e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.55777950015124e-06×40589641000000     		ar = 90185.182661684m²