Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6497 / 6302
↖ ↑ ↗
← S 69.131271°
E105.512696°		 ← 1 740.71 m → S 69.131271°
E105.556641°		 →
↑
1 740.05 m
↓
↑
1 740.05 m
↓
S 69.146920°
E105.512696°		 ← 1 739.46 m →
3 027 826 m²		 S 69.146920°
E105.556641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79315185546875 y=0.76934814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79315185546875 × 213)
    floor (0.79315185546875 × 8192)
    floor (6497.5)     		tx = 6497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76934814453125 × 213)
    floor (0.76934814453125 × 8192)
    floor (6302.5)     		ty = 6302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6497 / 6302 ti = "13/6497/6302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6497/6302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6497 ÷ 213
    6497 ÷ 8192     		x = 0.7930908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6302 ÷ 213
    6302 ÷ 8192     		y = 0.769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7930908203125 × 2 - 1) × π
    0.586181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84154394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.53857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6919808089895
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84154394} λ = 1.84154394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6919808089895))-π/2
    2×atan(0.184154387813027)-π/2
    2×0.182114013882869-π/2
    0.364228027765738-1.57079632675     		φ = -1.20656830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84154394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.512696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20656830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.131271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6497 KachelY 6302 1.84154394 -1.20656830 105.512696 -69.131271
    Oben rechts KachelX + 1 6498 KachelY 6302 1.84231093 -1.20656830 105.556641 -69.131271
    Unten links KachelX 6497 KachelY + 1 6303 1.84154394 -1.20684142 105.512696 -69.146920
    Unten rechts KachelX + 1 6498 KachelY + 1 6303 1.84231093 -1.20684142 105.556641 -69.146920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20656830--1.20684142) × R
    0.000273119999999905 × 6371000     		dl = 1740.04751999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20656830--1.20684142) × R
    0.000273119999999905 × 6371000     		dr = 1740.04751999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84154394-1.84231093) × cos(-1.20656830) × R
    0.000766990000000023 × 0.356228069674021 × 6371000     		do = 1740.70607217181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84154394-1.84231093) × cos(-1.20684142) × R
    0.000766990000000023 × 0.355972853325578 × 6371000     		du = 1739.45895919764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20656830)-sin(-1.20684142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356228069674021-0.355972853325578)×R²
    abs(1.84231093-1.84154394)×0.000255216348442611×R²
    0.000766990000000023×0.000255216348442611×6371000²
    0.000766990000000023×0.000255216348442611×40589641000000     		ar = 3027826.28483286m²