Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64946 / 31713
↖ ↑ ↗
← N 67.641631°
W  1.620483°		 ← 116.18 m → N 67.641631°
W  1.617737°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 67.640587°
W  1.620483°		 ← 116.19 m →
13 494 m²		 N 67.640587°
W  1.617737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495502471923828 y=0.241954803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495502471923828 × 217)
    floor (0.495502471923828 × 131072)
    floor (64946.5)     		tx = 64946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241954803466797 × 217)
    floor (0.241954803466797 × 131072)
    floor (31713.5)     		ty = 31713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64946 / 31713 ti = "17/64946/31713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64946/31713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64946 ÷ 217
    64946 ÷ 131072     		x = 0.495498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31713 ÷ 217
    31713 ÷ 131072     		y = 0.241950988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495498657226562 × 2 - 1) × π
    -0.009002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02828277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241950988769531 × 2 - 1) × π
    0.516098022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.62136975584916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02828277} λ = -0.02828277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62136975584916))-π/2
    2×atan(5.06001655912901)-π/2
    2×1.37568275424586-π/2
    2.75136550849173-1.57079632675     		φ = 1.18056918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02828277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.620483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18056918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.641631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64946 KachelY 31713 -0.02828277 1.18056918 -1.620483 67.641631
    Oben rechts KachelX + 1 64947 KachelY 31713 -0.02823483 1.18056918 -1.617737 67.641631
    Unten links KachelX 64946 KachelY + 1 31714 -0.02828277 1.18055095 -1.620483 67.640587
    Unten rechts KachelX + 1 64947 KachelY + 1 31714 -0.02823483 1.18055095 -1.617737 67.640587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18056918-1.18055095) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18056918-1.18055095) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02828277--0.02823483) × cos(1.18056918) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380398495441835 × 6371000     		do = 116.183491965209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02828277--0.02823483) × cos(1.18055095) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380415354896034 × 6371000     		du = 116.188641276483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18056918)-sin(1.18055095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380398495441835-0.380415354896034)×R²
    abs(-0.02823483--0.02828277)×1.68594541989364e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68594541989364e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68594541989364e-05×40589641000000     		ar = 13494.2366772491m²