Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64937 / 31722
↖ ↑ ↗
← N 67.632226°
W  1.645202°		 ← 116.21 m → N 67.632226°
W  1.642456°		 →
↑
116.21 m
↓
↑
116.21 m
↓
N 67.631181°
W  1.645202°		 ← 116.21 m →
13 504 m²		 N 67.631181°
W  1.642456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495433807373047 y=0.242023468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495433807373047 × 217)
    floor (0.495433807373047 × 131072)
    floor (64937.5)     		tx = 64937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242023468017578 × 217)
    floor (0.242023468017578 × 131072)
    floor (31722.5)     		ty = 31722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64937 / 31722 ti = "17/64937/31722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64937/31722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64937 ÷ 217
    64937 ÷ 131072     		x = 0.495429992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31722 ÷ 217
    31722 ÷ 131072     		y = 0.242019653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495429992675781 × 2 - 1) × π
    -0.0091400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02871420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242019653320312 × 2 - 1) × π
    0.515960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62093832375258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02871420} λ = -0.02871420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62093832375258))-π/2
    2×atan(5.05783397642814)-π/2
    2×1.37560067981367-π/2
    2.75120135962734-1.57079632675     		φ = 1.18040503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02871420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.645202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18040503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.632226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64937 KachelY 31722 -0.02871420 1.18040503 -1.645202 67.632226
    Oben rechts KachelX + 1 64938 KachelY 31722 -0.02866627 1.18040503 -1.642456 67.632226
    Unten links KachelX 64937 KachelY + 1 31723 -0.02871420 1.18038679 -1.645202 67.631181
    Unten rechts KachelX + 1 64938 KachelY + 1 31723 -0.02866627 1.18038679 -1.642456 67.631181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18040503-1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dl = 116.207039999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18040503-1.18038679) × R
    1.82399999999472e-05 × 6371000     		dr = 116.207039999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02871420--0.02866627) × cos(1.18040503) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.38055029995869 × 6371000     		do = 116.20561211249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02871420--0.02866627) × cos(1.18038679) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.380567167521844 × 6371000     		du = 116.210762825816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18040503)-sin(1.18038679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38055029995869-0.380567167521844)×R²
    abs(-0.02866627--0.02871420)×1.68675631541659e-05×R²
    4.79299999999981e-05×1.68675631541659e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×1.68675631541659e-05×40589641000000     		ar = 13504.209489976m²