Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6493 / 6202
↖ ↑ ↗
← S 67.508568°
E105.336914°		 ← 1 869.30 m → S 67.508568°
E105.380859°		 →
↑
1 868.68 m
↓
↑
1 868.68 m
↓
S 67.525374°
E105.336914°		 ← 1 867.98 m →
3 491 892 m²		 S 67.525374°
E105.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79266357421875 y=0.75714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79266357421875 × 213)
    floor (0.79266357421875 × 8192)
    floor (6493.5)     		tx = 6493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75714111328125 × 213)
    floor (0.75714111328125 × 8192)
    floor (6202.5)     		ty = 6202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6493 / 6202 ti = "13/6493/6202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6493/6202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6493 ÷ 213
    6493 ÷ 8192     		x = 0.7926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6202 ÷ 213
    6202 ÷ 8192     		y = 0.757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7926025390625 × 2 - 1) × π
    0.585205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83847597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83847597} λ = 1.83847597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61528176959741))-π/2
    2×atan(0.198834636991312)-π/2
    2×0.196274767785801-π/2
    0.392549535571601-1.57079632675     		φ = -1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83847597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.336914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6493 KachelY 6202 1.83847597 -1.17824679 105.336914 -67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 6494 KachelY 6202 1.83924296 -1.17824679 105.380859 -67.508568
    Unten links KachelX 6493 KachelY + 1 6203 1.83847597 -1.17854010 105.336914 -67.525374
    Unten rechts KachelX + 1 6494 KachelY + 1 6203 1.83924296 -1.17854010 105.380859 -67.525374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17824679--1.17854010) × R
    0.000293309999999991 × 6371000     		dl = 1868.67800999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17824679--1.17854010) × R
    0.000293309999999991 × 6371000     		dr = 1868.67800999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83847597-1.83924296) × cos(-1.17824679) × R
    0.000766990000000023 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 1869.30487841432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83847597-1.83924296) × cos(-1.17854010) × R
    0.000766990000000023 × 0.382274250270919 × 6371000     		du = 1867.98055888868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17824679)-sin(-1.17854010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382274250270919)×R²
    abs(1.83924296-1.83847597)×0.000271016339743579×R²
    0.000766990000000023×0.000271016339743579×6371000²
    0.000766990000000023×0.000271016339743579×40589641000000     		ar = 3491891.58192584m²