Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64929 / 76927
↖ ↑ ↗
← S 29.838262°
W  1.667175°		 ← 264.94 m → S 29.838262°
W  1.664429°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.840644°
W  1.667175°		 ← 264.93 m →
70 182 m²		 S 29.840644°
W  1.664429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495372772216797 y=0.586910247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495372772216797 × 217)
    floor (0.495372772216797 × 131072)
    floor (64929.5)     		tx = 64929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586910247802734 × 217)
    floor (0.586910247802734 × 131072)
    floor (76927.5)     		ty = 76927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64929 / 76927 ti = "17/64929/76927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64929/76927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64929 ÷ 217
    64929 ÷ 131072     		x = 0.495368957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76927 ÷ 217
    76927 ÷ 131072     		y = 0.586906433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495368957519531 × 2 - 1) × π
    -0.0092620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02909770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586906433105469 × 2 - 1) × π
    -0.173812866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.54604922357206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02909770} λ = -0.02909770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54604922357206))-π/2
    2×atan(0.579233718726347)-π/2
    2×0.525010210706221-π/2
    1.05002042141244-1.57079632675     		φ = -0.52077591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02909770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.667175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52077591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.838262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64929 KachelY 76927 -0.02909770 -0.52077591 -1.667175 -29.838262
    Oben rechts KachelX + 1 64930 KachelY 76927 -0.02904976 -0.52077591 -1.664429 -29.838262
    Unten links KachelX 64929 KachelY + 1 76928 -0.02909770 -0.52081749 -1.667175 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 64930 KachelY + 1 76928 -0.02904976 -0.52081749 -1.664429 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52077591--0.52081749) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52077591--0.52081749) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02909770--0.02904976) × cos(-0.52077591) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867433384219257 × 6371000     		do = 264.93648327587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02909770--0.02904976) × cos(-0.52081749) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 264.93016431735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52077591)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867433384219257-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.02904976--0.02909770)×2.06890176304153e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.06890176304153e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.06890176304153e-05×40589641000000     		ar = 70182.4747717549m²