Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64929 / 76925
↖ ↑ ↗
← S 29.833496°
W  1.667175°		 ← 264.95 m → S 29.833496°
W  1.664429°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.835879°
W  1.667175°		 ← 264.94 m →
70 186 m²		 S 29.835879°
W  1.664429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495372772216797 y=0.586894989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495372772216797 × 217)
    floor (0.495372772216797 × 131072)
    floor (64929.5)     		tx = 64929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586894989013672 × 217)
    floor (0.586894989013672 × 131072)
    floor (76925.5)     		ty = 76925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64929 / 76925 ti = "17/64929/76925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64929/76925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64929 ÷ 217
    64929 ÷ 131072     		x = 0.495368957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76925 ÷ 217
    76925 ÷ 131072     		y = 0.586891174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495368957519531 × 2 - 1) × π
    -0.0092620849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02909770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586891174316406 × 2 - 1) × π
    -0.173782348632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.54595334977282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02909770} λ = -0.02909770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54595334977282))-π/2
    2×atan(0.579289254725791)-π/2
    2×0.525051793765146-π/2
    1.05010358753029-1.57079632675     		φ = -0.52069274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02909770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.667175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52069274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.833496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64929 KachelY 76925 -0.02909770 -0.52069274 -1.667175 -29.833496
    Oben rechts KachelX + 1 64930 KachelY 76925 -0.02904976 -0.52069274 -1.664429 -29.833496
    Unten links KachelX 64929 KachelY + 1 76926 -0.02909770 -0.52073432 -1.667175 -29.835879
    Unten rechts KachelX + 1 64930 KachelY + 1 76926 -0.02904976 -0.52073432 -1.664429 -29.835879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52069274--0.52073432) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52069274--0.52073432) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02909770--0.02904976) × cos(-0.52069274) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867474762730186 × 6371000     		do = 264.94912133819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02909770--0.02904976) × cos(-0.52073432) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867454076712357 × 6371000     		du = 264.942803295887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52069274)-sin(-0.52073432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867474762730186-0.867454076712357)×R²
    abs(-0.02904976--0.02909770)×2.0686017829008e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.0686017829008e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.0686017829008e-05×40589641000000     		ar = 70185.8227940192m²