Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64925 / 76941
↖ ↑ ↗
← S 29.871611°
W  1.678162°		 ← 264.85 m → S 29.871611°
W  1.675415°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.873992°
W  1.678162°		 ← 264.84 m →
70 125 m²		 S 29.873992°
W  1.675415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495342254638672 y=0.587017059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495342254638672 × 217)
    floor (0.495342254638672 × 131072)
    floor (64925.5)     		tx = 64925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587017059326172 × 217)
    floor (0.587017059326172 × 131072)
    floor (76941.5)     		ty = 76941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64925 / 76941 ti = "17/64925/76941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64925/76941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64925 ÷ 217
    64925 ÷ 131072     		x = 0.495338439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76941 ÷ 217
    76941 ÷ 131072     		y = 0.587013244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495338439941406 × 2 - 1) × π
    -0.0093231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02928945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587013244628906 × 2 - 1) × π
    -0.174026489257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.54672034016674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02928945} λ = -0.02928945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54672034016674))-π/2
    2×atan(0.57884511577904)-π/2
    2×0.524719184844265-π/2
    1.04943836968853-1.57079632675     		φ = -0.52135796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02928945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.678162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52135796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.871611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64925 KachelY 76941 -0.02928945 -0.52135796 -1.678162 -29.871611
    Oben rechts KachelX + 1 64926 KachelY 76941 -0.02924151 -0.52135796 -1.675415 -29.871611
    Unten links KachelX 64925 KachelY + 1 76942 -0.02928945 -0.52139952 -1.678162 -29.873992
    Unten rechts KachelX + 1 64926 KachelY + 1 76942 -0.02924151 -0.52139952 -1.675415 -29.873992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52135796--0.52139952) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52135796--0.52139952) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02928945--0.02924151) × cos(-0.52135796) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.867143636379858 × 6371000     		do = 264.847986827627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02928945--0.02924151) × cos(-0.52139952) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.867122936334558 × 6371000     		du = 264.841664500973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52135796)-sin(-0.52139952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867143636379858-0.867122936334558)×R²
    abs(-0.02924151--0.02928945)×2.07000453001926e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.07000453001926e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.07000453001926e-05×40589641000000     		ar = 70125.2845418757m²