Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64924 / 76937
↖ ↑ ↗
← S 29.862084°
W  1.680908°		 ← 264.82 m → S 29.862084°
W  1.678162°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 29.864465°
W  1.680908°		 ← 264.81 m →
70 134 m²		 S 29.864465°
W  1.678162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495334625244141 y=0.586986541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495334625244141 × 217)
    floor (0.495334625244141 × 131072)
    floor (64924.5)     		tx = 64924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586986541748047 × 217)
    floor (0.586986541748047 × 131072)
    floor (76937.5)     		ty = 76937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64924 / 76937 ti = "17/64924/76937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64924/76937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64924 ÷ 217
    64924 ÷ 131072     		x = 0.495330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76937 ÷ 217
    76937 ÷ 131072     		y = 0.586982727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.00933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02933738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586982727050781 × 2 - 1) × π
    -0.173965454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.54652859256826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02933738} λ = -0.02933738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54652859256826))-π/2
    2×atan(0.578956118581803)-π/2
    2×0.524802325168875-π/2
    1.04960465033775-1.57079632675     		φ = -0.52119168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02933738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52119168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.862084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64924 KachelY 76937 -0.02933738 -0.52119168 -1.680908 -29.862084
    Oben rechts KachelX + 1 64925 KachelY 76937 -0.02928945 -0.52119168 -1.678162 -29.862084
    Unten links KachelX 64924 KachelY + 1 76938 -0.02933738 -0.52123325 -1.680908 -29.864465
    Unten rechts KachelX + 1 64925 KachelY + 1 76938 -0.02928945 -0.52123325 -1.678162 -29.864465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52119168--0.52123325) × R
    4.15699999999353e-05 × 6371000     		dl = 264.842469999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52119168--0.52123325) × R
    4.15699999999353e-05 × 6371000     		dr = 264.842469999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02933738--0.02928945) × cos(-0.52119168) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.867226441499664 × 6371000     		do = 264.818026646003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02933738--0.02928945) × cos(-0.52123325) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.867205742467558 × 6371000     		du = 264.81170594754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52119168)-sin(-0.52123325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867226441499664-0.867205742467558)×R²
    abs(-0.02928945--0.02933738)×2.06990321054423e-05×R²
    4.79299999999981e-05×2.06990321054423e-05×6371000²
    4.79299999999981e-05×2.06990321054423e-05×40589641000000     		ar = 70134.2232927339m²