Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64923 / 76936
↖ ↑ ↗
← S 29.859701°
W  1.683655°		 ← 264.88 m → S 29.859701°
W  1.680908°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
S 29.862084°
W  1.683655°		 ← 264.87 m →
70 167 m²		 S 29.862084°
W  1.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495326995849609 y=0.586978912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495326995849609 × 217)
    floor (0.495326995849609 × 131072)
    floor (64923.5)     		tx = 64923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586978912353516 × 217)
    floor (0.586978912353516 × 131072)
    floor (76936.5)     		ty = 76936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64923 / 76936 ti = "17/64923/76936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64923/76936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64923 ÷ 217
    64923 ÷ 131072     		x = 0.495323181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76936 ÷ 217
    76936 ÷ 131072     		y = 0.58697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495323181152344 × 2 - 1) × π
    -0.0093536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02938532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54648065566864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02938532} λ = -0.02938532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54648065566864))-π/2
    2×atan(0.57898387260836)-π/2
    2×0.524823111490416-π/2
    1.04964622298083-1.57079632675     		φ = -0.52115010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02938532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.683655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52115010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.859701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64923 KachelY 76936 -0.02938532 -0.52115010 -1.683655 -29.859701
    Oben rechts KachelX + 1 64924 KachelY 76936 -0.02933738 -0.52115010 -1.680908 -29.859701
    Unten links KachelX 64923 KachelY + 1 76937 -0.02938532 -0.52119168 -1.683655 -29.862084
    Unten rechts KachelX + 1 64924 KachelY + 1 76937 -0.02933738 -0.52119168 -1.680908 -29.862084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52115010--0.52119168) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dl = 264.906180000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52115010--0.52119168) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dr = 264.906180000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02938532--0.02933738) × cos(-0.52115010) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867247144011925 × 6371000     		do = 264.879600722728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02938532--0.02933738) × cos(-0.52119168) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.867226441499664 × 6371000     		du = 264.8732776426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52115010)-sin(-0.52119168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867247144011925-0.867226441499664)×R²
    abs(-0.02933738--0.02938532)×2.07025122608284e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.07025122608284e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.07025122608284e-05×40589641000000     		ar = 70167.4056861822m²