Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6492 / 6306
↖ ↑ ↗
← S 69.193800°
E105.292969°		 ← 1 735.72 m → S 69.193800°
E105.336914°		 →
↑
1 735.08 m
↓
↑
1 735.08 m
↓
S 69.209404°
E105.292969°		 ← 1 734.48 m →
3 010 534 m²		 S 69.209404°
E105.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79254150390625 y=0.76983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79254150390625 × 213)
    floor (0.79254150390625 × 8192)
    floor (6492.5)     		tx = 6492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76983642578125 × 213)
    floor (0.76983642578125 × 8192)
    floor (6306.5)     		ty = 6306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6492 / 6306 ti = "13/6492/6306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6492/6306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6492 ÷ 213
    6492 ÷ 8192     		x = 0.79248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6306 ÷ 213
    6306 ÷ 8192     		y = 0.769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79248046875 × 2 - 1) × π
    0.5849609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83770898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83770898} λ = 1.83770898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69504877056519))-π/2
    2×atan(0.183590275007899)-π/2
    2×0.181568349476913-π/2
    0.363136698953826-1.57079632675     		φ = -1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83770898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6492 KachelY 6306 1.83770898 -1.20765963 105.292969 -69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 6493 KachelY 6306 1.83847597 -1.20765963 105.336914 -69.193800
    Unten links KachelX 6492 KachelY + 1 6307 1.83770898 -1.20793197 105.292969 -69.209404
    Unten rechts KachelX + 1 6493 KachelY + 1 6307 1.83847597 -1.20793197 105.336914 -69.209404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20765963--1.20793197) × R
    0.000272339999999982 × 6371000     		dl = 1735.07813999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20765963--1.20793197) × R
    0.000272339999999982 × 6371000     		dr = 1735.07813999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83770898-1.83847597) × cos(-1.20765963) × R
    0.000766990000000023 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 1735.72209513001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83770898-1.83847597) × cos(-1.20793197) × R
    0.000766990000000023 × 0.354953526912602 × 6371000     		du = 1734.47802752031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20765963)-sin(-1.20793197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.354953526912602)×R²
    abs(1.83847597-1.83770898)×0.000254593127600067×R²
    0.000766990000000023×0.000254593127600067×6371000²
    0.000766990000000023×0.000254593127600067×40589641000000     		ar = 3010534.20572318m²