Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64914 / 31727
↖ ↑ ↗
← N 67.627000°
W  1.708374°		 ← 116.26 m → N 67.627000°
W  1.705627°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
N 67.625954°
W  1.708374°		 ← 116.26 m →
13 517 m²		 N 67.625954°
W  1.705627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495258331298828 y=0.242061614990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495258331298828 × 217)
    floor (0.495258331298828 × 131072)
    floor (64914.5)     		tx = 64914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242061614990234 × 217)
    floor (0.242061614990234 × 131072)
    floor (31727.5)     		ty = 31727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64914 / 31727 ti = "17/64914/31727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64914/31727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64914 ÷ 217
    64914 ÷ 131072     		x = 0.495254516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31727 ÷ 217
    31727 ÷ 131072     		y = 0.242057800292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495254516601562 × 2 - 1) × π
    -0.009490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02981675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242057800292969 × 2 - 1) × π
    0.515884399414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.62069863925448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02981675} λ = -0.02981675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62069863925448))-π/2
    2×atan(5.05662183730131)-π/2
    2×1.37555506875555-π/2
    2.7511101375111-1.57079632675     		φ = 1.18031381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02981675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.708374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18031381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.627000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64914 KachelY 31727 -0.02981675 1.18031381 -1.708374 67.627000
    Oben rechts KachelX + 1 64915 KachelY 31727 -0.02976881 1.18031381 -1.705627 67.627000
    Unten links KachelX 64914 KachelY + 1 31728 -0.02981675 1.18029556 -1.708374 67.625954
    Unten rechts KachelX + 1 64915 KachelY + 1 31728 -0.02976881 1.18029556 -1.705627 67.625954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18031381-1.18029556) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dl = 116.270749999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18031381-1.18029556) × R
    1.82499999998864e-05 × 6371000     		dr = 116.270749999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02981675--0.02976881) × cos(1.18031381) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380634655002778 × 6371000     		do = 116.255621173868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02981675--0.02976881) × cos(1.18029556) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380651531179853 × 6371000     		du = 116.260775592739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18031381)-sin(1.18029556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380634655002778-0.380651531179853)×R²
    abs(-0.02976881--0.02981675)×1.68761770757975e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68761770757975e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68761770757975e-05×40589641000000     		ar = 13517.4279199859m²