Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64912 / 69083
↖ ↑ ↗
← S  9.695521°
W  1.713867°		 ← 301.06 m → S  9.695521°
W  1.711121°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.698228°
W  1.713867°		 ← 301.06 m →
90 629 m²		 S  9.698228°
W  1.711121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495243072509766 y=0.527065277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495243072509766 × 217)
    floor (0.495243072509766 × 131072)
    floor (64912.5)     		tx = 64912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527065277099609 × 217)
    floor (0.527065277099609 × 131072)
    floor (69083.5)     		ty = 69083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64912 / 69083 ti = "17/64912/69083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64912/69083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64912 ÷ 217
    64912 ÷ 131072     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69083 ÷ 217
    69083 ÷ 131072     		y = 0.527061462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527061462402344 × 2 - 1) × π
    -0.0541229248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170032182952339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170032182952339))-π/2
    2×atan(0.843637665408706)-π/2
    2×0.700788784957759-π/2
    1.40157756991552-1.57079632675     		φ = -0.16921876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16921876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.695521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64912 KachelY 69083 -0.02991263 -0.16921876 -1.713867 -9.695521
    Oben rechts KachelX + 1 64913 KachelY 69083 -0.02986469 -0.16921876 -1.711121 -9.695521
    Unten links KachelX 64912 KachelY + 1 69084 -0.02991263 -0.16926601 -1.713867 -9.698228
    Unten rechts KachelX + 1 64913 KachelY + 1 69084 -0.02986469 -0.16926601 -1.711121 -9.698228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16921876--0.16926601) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16921876--0.16926601) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02986469) × cos(-0.16921876) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985716638145615 × 6371000     		do = 301.063233635935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02986469) × cos(-0.16926601) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985708679563195 × 6371000     		du = 301.06080288001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16921876)-sin(-0.16926601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985716638145615-0.985708679563195)×R²
    abs(-0.02986469--0.02991263)×7.95858241975367e-06×R²
    4.79399999999998e-05×7.95858241975367e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.95858241975367e-06×40589641000000     		ar = 90628.6241075444m²