Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64911 / 31886
↖ ↑ ↗
← N 67.460187°
W  1.716614°		 ← 117.05 m → N 67.460187°
W  1.713867°		 →
↑
117.04 m
↓
↑
117.04 m
↓
N 67.459135°
W  1.716614°		 ← 117.06 m →
13 700 m²		 N 67.459135°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495235443115234 y=0.243274688720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495235443115234 × 217)
    floor (0.495235443115234 × 131072)
    floor (64911.5)     		tx = 64911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243274688720703 × 217)
    floor (0.243274688720703 × 131072)
    floor (31886.5)     		ty = 31886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64911 / 31886 ti = "17/64911/31886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64911/31886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64911 ÷ 217
    64911 ÷ 131072     		x = 0.495231628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31886 ÷ 217
    31886 ÷ 131072     		y = 0.243270874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495231628417969 × 2 - 1) × π
    -0.0095367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02996056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243270874023438 × 2 - 1) × π
    0.513458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61307667221489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02996056} λ = -0.02996056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61307667221489))-π/2
    2×atan(5.01822694052174)-π/2
    2×1.37409935432975-π/2
    2.7481987086595-1.57079632675     		φ = 1.17740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02996056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.716614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.460187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64911 KachelY 31886 -0.02996056 1.17740238 -1.716614 67.460187
    Oben rechts KachelX + 1 64912 KachelY 31886 -0.02991263 1.17740238 -1.713867 67.460187
    Unten links KachelX 64911 KachelY + 1 31887 -0.02996056 1.17738401 -1.716614 67.459135
    Unten rechts KachelX + 1 64912 KachelY + 1 31887 -0.02991263 1.17738401 -1.713867 67.459135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17740238-1.17738401) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dl = 117.035270000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17740238-1.17738401) × R
    1.83700000000453e-05 × 6371000     		dr = 117.035270000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(1.17740238) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.383325311566686 × 6371000     		do = 117.05299529039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(1.17738401) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.383342278280094 × 6371000     		du = 117.058176280438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17740238)-sin(1.17738401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383325311566686-0.383342278280094)×R²
    abs(-0.02991263--0.02996056)×1.6966713408173e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.6966713408173e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.6966713408173e-05×40589641000000     		ar = 13699.6320878923m²