Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64911 / 31885
↖ ↑ ↗
← N 67.461240°
W  1.716614°		 ← 117.05 m → N 67.461240°
W  1.713867°		 →
↑
117.10 m
↓
↑
117.10 m
↓
N 67.460187°
W  1.716614°		 ← 117.05 m →
13 706 m²		 N 67.460187°
W  1.713867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495235443115234 y=0.243267059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495235443115234 × 217)
    floor (0.495235443115234 × 131072)
    floor (64911.5)     		tx = 64911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243267059326172 × 217)
    floor (0.243267059326172 × 131072)
    floor (31885.5)     		ty = 31885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64911 / 31885 ti = "17/64911/31885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64911/31885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64911 ÷ 217
    64911 ÷ 131072     		x = 0.495231628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31885 ÷ 217
    31885 ÷ 131072     		y = 0.243263244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495231628417969 × 2 - 1) × π
    -0.0095367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02996056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243263244628906 × 2 - 1) × π
    0.513473510742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.61312460911451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02996056} λ = -0.02996056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61312460911451))-π/2
    2×atan(5.01846750452876)-π/2
    2×1.37410854183981-π/2
    2.74821708367962-1.57079632675     		φ = 1.17742076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02996056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.716614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17742076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.461240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64911 KachelY 31885 -0.02996056 1.17742076 -1.716614 67.461240
    Oben rechts KachelX + 1 64912 KachelY 31885 -0.02991263 1.17742076 -1.713867 67.461240
    Unten links KachelX 64911 KachelY + 1 31886 -0.02996056 1.17740238 -1.716614 67.460187
    Unten rechts KachelX + 1 64912 KachelY + 1 31886 -0.02991263 1.17740238 -1.713867 67.460187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17742076-1.17740238) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dl = 117.098979999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17742076-1.17740238) × R
    1.83799999999845e-05 × 6371000     		dr = 117.098979999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(1.17742076) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.383308335487718 × 6371000     		do = 117.047811440454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02996056--0.02991263) × cos(1.17740238) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.383325311566686 × 6371000     		du = 117.05299529039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17742076)-sin(1.17740238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383308335487718-0.383325311566686)×R²
    abs(-0.02991263--0.02996056)×1.69760789682227e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.69760789682227e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.69760789682227e-05×40589641000000     		ar = 13706.4828430234m²