Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64906 / 69064
↖ ↑ ↗
← S  9.644077°
W  1.730347°		 ← 301.11 m → S  9.644077°
W  1.727600°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.646785°
W  1.730347°		 ← 301.11 m →
90 662 m²		 S  9.646785°
W  1.727600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495197296142578 y=0.526920318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495197296142578 × 217)
    floor (0.495197296142578 × 131072)
    floor (64906.5)     		tx = 64906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526920318603516 × 217)
    floor (0.526920318603516 × 131072)
    floor (69064.5)     		ty = 69064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64906 / 69064 ti = "17/64906/69064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64906/69064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64906 ÷ 217
    64906 ÷ 131072     		x = 0.495193481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69064 ÷ 217
    69064 ÷ 131072     		y = 0.52691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495193481445312 × 2 - 1) × π
    -0.009613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03020025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0538330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169121381859558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03020025} λ = -0.03020025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169121381859558))-π/2
    2×atan(0.844406401545986)-π/2
    2×0.701237715223139-π/2
    1.40247543044628-1.57079632675     		φ = -0.16832090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03020025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16832090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.644077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64906 KachelY 69064 -0.03020025 -0.16832090 -1.730347 -9.644077
    Oben rechts KachelX + 1 64907 KachelY 69064 -0.03015231 -0.16832090 -1.727600 -9.644077
    Unten links KachelX 64906 KachelY + 1 69065 -0.03020025 -0.16836816 -1.730347 -9.646785
    Unten rechts KachelX + 1 64907 KachelY + 1 69065 -0.03015231 -0.16836816 -1.727600 -9.646785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16832090--0.16836816) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16832090--0.16836816) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03020025--0.03015231) × cos(-0.16832090) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985867451491302 × 6371000     		do = 301.109295913644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03020025--0.03015231) × cos(-0.16836816) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985859533054107 × 6371000     		du = 301.106877419104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16832090)-sin(-0.16836816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985867451491302-0.985859533054107)×R²
    abs(-0.03015231--0.03020025)×7.91843719494256e-06×R²
    4.79399999999998e-05×7.91843719494256e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×7.91843719494256e-06×40589641000000     		ar = 90661.6756652144m²