Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64906 / 31734
↖ ↑ ↗
← N 67.619681°
W  1.730347°		 ← 116.29 m → N 67.619681°
W  1.727600°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 67.618635°
W  1.730347°		 ← 116.30 m →
13 529 m²		 N 67.618635°
W  1.727600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495197296142578 y=0.242115020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495197296142578 × 217)
    floor (0.495197296142578 × 131072)
    floor (64906.5)     		tx = 64906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242115020751953 × 217)
    floor (0.242115020751953 × 131072)
    floor (31734.5)     		ty = 31734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64906 / 31734 ti = "17/64906/31734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64906/31734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64906 ÷ 217
    64906 ÷ 131072     		x = 0.495193481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31734 ÷ 217
    31734 ÷ 131072     		y = 0.242111206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495193481445312 × 2 - 1) × π
    -0.009613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03020025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242111206054688 × 2 - 1) × π
    0.515777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62036308095714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03020025} λ = -0.03020025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62036308095714))-π/2
    2×atan(5.05492533054167)-π/2
    2×1.37549119628819-π/2
    2.75098239257637-1.57079632675     		φ = 1.18018607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03020025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.730347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18018607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.619681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64906 KachelY 31734 -0.03020025 1.18018607 -1.730347 67.619681
    Oben rechts KachelX + 1 64907 KachelY 31734 -0.03015231 1.18018607 -1.727600 67.619681
    Unten links KachelX 64906 KachelY + 1 31735 -0.03020025 1.18016781 -1.730347 67.618635
    Unten rechts KachelX + 1 64907 KachelY + 1 31735 -0.03015231 1.18016781 -1.727600 67.618635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18018607-1.18016781) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18018607-1.18016781) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03020025--0.03015231) × cos(1.18018607) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380752776332948 × 6371000     		do = 116.291698468544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03020025--0.03015231) × cos(1.18016781) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.380769660869209 × 6371000     		du = 116.296855440527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18018607)-sin(1.18016781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380752776332948-0.380769660869209)×R²
    abs(-0.03015231--0.03020025)×1.68845362613634e-05×R²
    4.79399999999998e-05×1.68845362613634e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×1.68845362613634e-05×40589641000000     		ar = 13529.0319109699m²