Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64905 / 69065
↖ ↑ ↗
← S  9.646785°
W  1.733093°		 ← 301.04 m → S  9.646785°
W  1.730347°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.649492°
W  1.733093°		 ← 301.04 m →
90 623 m²		 S  9.649492°
W  1.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495189666748047 y=0.526927947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495189666748047 × 217)
    floor (0.495189666748047 × 131072)
    floor (64905.5)     		tx = 64905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526927947998047 × 217)
    floor (0.526927947998047 × 131072)
    floor (69065.5)     		ty = 69065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64905 / 69065 ti = "17/64905/69065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64905/69065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64905 ÷ 217
    64905 ÷ 131072     		x = 0.495185852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69065 ÷ 217
    69065 ÷ 131072     		y = 0.526924133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495185852050781 × 2 - 1) × π
    -0.0096282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03024818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526924133300781 × 2 - 1) × π
    -0.0538482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.169169318759178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03024818} λ = -0.03024818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169169318759178))-π/2
    2×atan(0.844365924291261)-π/2
    2×0.701214085603484-π/2
    1.40242817120697-1.57079632675     		φ = -0.16836816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03024818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.733093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16836816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.646785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64905 KachelY 69065 -0.03024818 -0.16836816 -1.733093 -9.646785
    Oben rechts KachelX + 1 64906 KachelY 69065 -0.03020025 -0.16836816 -1.730347 -9.646785
    Unten links KachelX 64905 KachelY + 1 69066 -0.03024818 -0.16841541 -1.733093 -9.649492
    Unten rechts KachelX + 1 64906 KachelY + 1 69066 -0.03020025 -0.16841541 -1.730347 -9.649492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16836816--0.16841541) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16836816--0.16841541) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03024818--0.03020025) × cos(-0.16836816) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.985859533054107 × 6371000     		do = 301.044068308242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03024818--0.03020025) × cos(-0.16841541) × R
    4.79299999999981e-05 × 0.985851614091191 × 6371000     		du = 301.041650157651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16836816)-sin(-0.16841541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985859533054107-0.985851614091191)×R²
    abs(-0.03020025--0.03024818)×7.91896291574279e-06×R²
    4.79299999999981e-05×7.91896291574279e-06×6371000²
    4.79299999999981e-05×7.91896291574279e-06×40589641000000     		ar = 90622.8566710296m²