Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64904 / 69103
↖ ↑ ↗
← S  9.749663°
W  1.735840°		 ← 301.01 m → S  9.749663°
W  1.733093°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.752370°
W  1.735840°		 ← 301.01 m →
90 614 m²		 S  9.752370°
W  1.733093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495182037353516 y=0.527217864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495182037353516 × 217)
    floor (0.495182037353516 × 131072)
    floor (64904.5)     		tx = 64904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527217864990234 × 217)
    floor (0.527217864990234 × 131072)
    floor (69103.5)     		ty = 69103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64904 / 69103 ti = "17/64904/69103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64904/69103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64904 ÷ 217
    64904 ÷ 131072     		x = 0.49517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69103 ÷ 217
    69103 ÷ 131072     		y = 0.527214050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03029612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527214050292969 × 2 - 1) × π
    -0.0544281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17099092094474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03029612} λ = -0.03029612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17099092094474))-π/2
    2×atan(0.842829225529996)-π/2
    2×0.700316301177886-π/2
    1.40063260235577-1.57079632675     		φ = -0.17016372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03029612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17016372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.749663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64904 KachelY 69103 -0.03029612 -0.17016372 -1.735840 -9.749663
    Oben rechts KachelX + 1 64905 KachelY 69103 -0.03024818 -0.17016372 -1.733093 -9.749663
    Unten links KachelX 64904 KachelY + 1 69104 -0.03029612 -0.17021097 -1.735840 -9.752370
    Unten rechts KachelX + 1 64905 KachelY + 1 69104 -0.03024818 -0.17021097 -1.733093 -9.752370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17016372--0.17021097) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17016372--0.17021097) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03029612--0.03024818) × cos(-0.17016372) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985557055166571 × 6371000     		do = 301.014492886469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03029612--0.03024818) × cos(-0.17021097) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985549052576271 × 6371000     		du = 301.012048689405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17016372)-sin(-0.17021097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985557055166571-0.985549052576271)×R²
    abs(-0.03024818--0.03029612)×8.00259029920536e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.00259029920536e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.00259029920536e-06×40589641000000     		ar = 90613.9496688283m²