Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 649 / 389
↖ ↑ ↗
← N 81.024916°
W122.958984°		 ← 1 524.63 m → N 81.024916°
W122.871094°		 →
↑
1 525.79 m
↓
↑
1 525.79 m
↓
N 81.011194°
W122.958984°		 ← 1 526.95 m →
2 328 036 m²		 N 81.011194°
W122.871094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1585693359375 y=0.0950927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1585693359375 × 212)
    floor (0.1585693359375 × 4096)
    floor (649.5)     		tx = 649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950927734375 × 212)
    floor (0.0950927734375 × 4096)
    floor (389.5)     		ty = 389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 649 / 389 ti = "12/649/389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/649/389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 649 ÷ 212
    649 ÷ 4096     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 389 ÷ 212
    389 ÷ 4096     		y = 0.094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094970703125 × 2 - 1) × π
    0.81005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54487412702954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54487412702954))-π/2
    2×atan(12.7416241590407)-π/2
    2×1.49247394400712-π/2
    2.98494788801423-1.57079632675     		φ = 1.41415156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41415156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.024916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 649 KachelY 389 -2.14603912 1.41415156 -122.958984 81.024916
    Oben rechts KachelX + 1 650 KachelY 389 -2.14450514 1.41415156 -122.871094 81.024916
    Unten links KachelX 649 KachelY + 1 390 -2.14603912 1.41391207 -122.958984 81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 650 KachelY + 1 390 -2.14450514 1.41391207 -122.871094 81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41415156-1.41391207) × R
    0.000239490000000009 × 6371000     		dl = 1525.79079000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41415156-1.41391207) × R
    0.000239490000000009 × 6371000     		dr = 1525.79079000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14450514) × cos(1.41415156) × R
    0.00153398000000005 × 0.156004938298302 × 6371000     		do = 1524.63416840308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14450514) × cos(1.41391207) × R
    0.00153398000000005 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 1526.94600037751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41415156)-sin(1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156004938298302-0.156241491572525)×R²
    abs(-2.14450514--2.14603912)×0.000236553274222451×R²
    0.00153398000000005×0.000236553274222451×6371000²
    0.00153398000000005×0.000236553274222451×40589641000000     		ar = 2328036.46936053m²