Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64899 / 69116
↖ ↑ ↗
← S  9.784851°
W  1.749573°		 ← 300.98 m → S  9.784851°
W  1.746826°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.787558°
W  1.749573°		 ← 300.98 m →
90 585 m²		 S  9.787558°
W  1.746826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495143890380859 y=0.527317047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495143890380859 × 217)
    floor (0.495143890380859 × 131072)
    floor (64899.5)     		tx = 64899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527317047119141 × 217)
    floor (0.527317047119141 × 131072)
    floor (69116.5)     		ty = 69116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64899 / 69116 ti = "17/64899/69116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64899/69116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64899 ÷ 217
    64899 ÷ 131072     		x = 0.495140075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69116 ÷ 217
    69116 ÷ 131072     		y = 0.527313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495140075683594 × 2 - 1) × π
    -0.0097198486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03053581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.05462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.171614100639801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03053581} λ = -0.03053581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171614100639801))-π/2
    2×atan(0.842304155093852)-π/2
    2×0.700009227828124-π/2
    1.40001845565625-1.57079632675     		φ = -0.17077787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03053581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.749573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17077787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.784851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64899 KachelY 69116 -0.03053581 -0.17077787 -1.749573 -9.784851
    Oben rechts KachelX + 1 64900 KachelY 69116 -0.03048787 -0.17077787 -1.746826 -9.784851
    Unten links KachelX 64899 KachelY + 1 69117 -0.03053581 -0.17082511 -1.749573 -9.787558
    Unten rechts KachelX + 1 64900 KachelY + 1 69117 -0.03048787 -0.17082511 -1.746826 -9.787558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17077787--0.17082511) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17077787--0.17082511) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(-0.17077787) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985452866869307 × 6371000     		do = 300.982671098678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03053581--0.03048787) × cos(-0.17082511) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985444837381117 × 6371000     		du = 300.980218686306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17077787)-sin(-0.17082511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985452866869307-0.985444837381117)×R²
    abs(-0.03048787--0.03053581)×8.02948819056404e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.02948819056404e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.02948819056404e-06×40589641000000     		ar = 90585.1935996259m²