Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6489 / 6200
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E105.161133°		 ← 1 871.96 m → S 67.474922°
E105.205078°		 →
↑
1 871.29 m
↓
↑
1 871.29 m
↓
S 67.491751°
E105.161133°		 ← 1 870.63 m →
3 501 732 m²		 S 67.491751°
E105.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79217529296875 y=0.75689697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79217529296875 × 213)
    floor (0.79217529296875 × 8192)
    floor (6489.5)     		tx = 6489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75689697265625 × 213)
    floor (0.75689697265625 × 8192)
    floor (6200.5)     		ty = 6200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6489 / 6200 ti = "13/6489/6200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6489/6200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6489 ÷ 213
    6489 ÷ 8192     		x = 0.7921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6200 ÷ 213
    6200 ÷ 8192     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7921142578125 × 2 - 1) × π
    0.584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83540801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83540801} λ = 1.83540801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83540801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6489 KachelY 6200 1.83540801 -1.17765956 105.161133 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 6490 KachelY 6200 1.83617500 -1.17765956 105.205078 -67.474922
    Unten links KachelX 6489 KachelY + 1 6201 1.83540801 -1.17795328 105.161133 -67.491751
    Unten rechts KachelX + 1 6490 KachelY + 1 6201 1.83617500 -1.17795328 105.205078 -67.491751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17795328) × R
    0.000293720000000164 × 6371000     		dl = 1871.29012000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17795328) × R
    0.000293720000000164 × 6371000     		dr = 1871.29012000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83540801-1.83617500) × cos(-1.17765956) × R
    0.000766989999999801 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 1871.95578826282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83540801-1.83617500) × cos(-1.17795328) × R
    0.000766989999999801 × 0.382816434804641 × 6371000     		du = 1870.62993997412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17795328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.382816434804641)×R²
    abs(1.83617500-1.83540801)×0.000271329194580894×R²
    0.000766989999999801×0.000271329194580894×6371000²
    0.000766989999999801×0.000271329194580894×40589641000000     		ar = 3501731.87342953m²