Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64887 / 69113
↖ ↑ ↗
← S  9.776731°
W  1.782532°		 ← 300.99 m → S  9.776731°
W  1.779785°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.779438°
W  1.782532°		 ← 300.99 m →
90 587 m²		 S  9.779438°
W  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495052337646484 y=0.527294158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495052337646484 × 217)
    floor (0.495052337646484 × 131072)
    floor (64887.5)     		tx = 64887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527294158935547 × 217)
    floor (0.527294158935547 × 131072)
    floor (69113.5)     		ty = 69113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64887 / 69113 ti = "17/64887/69113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64887/69113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64887 ÷ 217
    64887 ÷ 131072     		x = 0.495048522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69113 ÷ 217
    69113 ÷ 131072     		y = 0.527290344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495048522949219 × 2 - 1) × π
    -0.0099029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03111105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527290344238281 × 2 - 1) × π
    -0.0545806884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.171470289940941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03111105} λ = -0.03111105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171470289940941))-π/2
    2×atan(0.84242529615353)-π/2
    2×0.700080088026537-π/2
    1.40016017605307-1.57079632675     		φ = -0.17063615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03111105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.782532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17063615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.776731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64887 KachelY 69113 -0.03111105 -0.17063615 -1.782532 -9.776731
    Oben rechts KachelX + 1 64888 KachelY 69113 -0.03106311 -0.17063615 -1.779785 -9.776731
    Unten links KachelX 64887 KachelY + 1 69114 -0.03111105 -0.17068339 -1.782532 -9.779438
    Unten rechts KachelX + 1 64888 KachelY + 1 69114 -0.03106311 -0.17068339 -1.779785 -9.779438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17063615--0.17068339) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17063615--0.17068339) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03111105--0.03106311) × cos(-0.17063615) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985476942138884 × 6371000     		do = 300.990024305704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03111105--0.03106311) × cos(-0.17068339) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.985468919248209 × 6371000     		du = 300.987573908383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17063615)-sin(-0.17068339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985476942138884-0.985468919248209)×R²
    abs(-0.03106311--0.03111105)×8.02289067491913e-06×R²
    4.79399999999998e-05×8.02289067491913e-06×6371000²
    4.79399999999998e-05×8.02289067491913e-06×40589641000000     		ar = 90587.4069684437m²