Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64877 / 31859
↖ ↑ ↗
← N 67.488597°
W  1.809998°		 ← 116.94 m → N 67.488597°
W  1.807251°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
N 67.487545°
W  1.809998°		 ← 116.94 m →
13 671 m²		 N 67.487545°
W  1.807251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494976043701172 y=0.243068695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494976043701172 × 217)
    floor (0.494976043701172 × 131072)
    floor (64877.5)     		tx = 64877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243068695068359 × 217)
    floor (0.243068695068359 × 131072)
    floor (31859.5)     		ty = 31859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64877 / 31859 ti = "17/64877/31859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64877/31859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64877 ÷ 217
    64877 ÷ 131072     		x = 0.494972229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31859 ÷ 217
    31859 ÷ 131072     		y = 0.243064880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494972229003906 × 2 - 1) × π
    -0.0100555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03159042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243064880371094 × 2 - 1) × π
    0.513870239257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.61437096850463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03159042} λ = -0.03159042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61437096850463))-π/2
    2×atan(5.02472621812008)-π/2
    2×1.37434727436776-π/2
    2.74869454873551-1.57079632675     		φ = 1.17789822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03159042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.809998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17789822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.488597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64877 KachelY 31859 -0.03159042 1.17789822 -1.809998 67.488597
    Oben rechts KachelX + 1 64878 KachelY 31859 -0.03154248 1.17789822 -1.807251 67.488597
    Unten links KachelX 64877 KachelY + 1 31860 -0.03159042 1.17787987 -1.809998 67.487545
    Unten rechts KachelX + 1 64878 KachelY + 1 31860 -0.03154248 1.17787987 -1.807251 67.487545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17789822-1.17787987) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dl = 116.907850001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17789822-1.17787987) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dr = 116.907850001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03159042--0.03154248) × cos(1.17789822) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382867299997451 × 6371000     		do = 116.937528423531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03159042--0.03154248) × cos(1.17787987) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382884251724474 × 6371000     		du = 116.942705917302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17789822)-sin(1.17787987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382867299997451-0.382884251724474)×R²
    abs(-0.03154248--0.03159042)×1.69517270228181e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69517270228181e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69517270228181e-05×40589641000000     		ar = 13671.2176775895m²