Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64864 / 31840
↖ ↑ ↗
← N 67.508568°
W  1.845703°		 ← 116.84 m → N 67.508568°
W  1.842957°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
N 67.507517°
W  1.845703°		 ← 116.84 m →
13 652 m²		 N 67.507517°
W  1.842957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494876861572266 y=0.242923736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494876861572266 × 217)
    floor (0.494876861572266 × 131072)
    floor (64864.5)     		tx = 64864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242923736572266 × 217)
    floor (0.242923736572266 × 131072)
    floor (31840.5)     		ty = 31840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64864 / 31840 ti = "17/64864/31840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64864/31840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64864 ÷ 217
    64864 ÷ 131072     		x = 0.494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31840 ÷ 217
    31840 ÷ 131072     		y = 0.242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242919921875 × 2 - 1) × π
    0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03221360} λ = -0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61528176959741))-π/2
    2×atan(5.02930482903586)-π/2
    2×1.3745215590091-π/2
    2.74904311801819-1.57079632675     		φ = 1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64864 KachelY 31840 -0.03221360 1.17824679 -1.845703 67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 64865 KachelY 31840 -0.03216566 1.17824679 -1.842957 67.508568
    Unten links KachelX 64864 KachelY + 1 31841 -0.03221360 1.17822845 -1.845703 67.507517
    Unten rechts KachelX + 1 64865 KachelY + 1 31841 -0.03216566 1.17822845 -1.842957 67.507517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17824679-1.17822845) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17824679-1.17822845) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03221360--0.03216566) × cos(1.17824679) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 116.839171138067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03221360--0.03216566) × cos(1.17822845) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.382562211546331 × 6371000     		du = 116.844346557583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17824679)-sin(1.17822845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382562211546331)×R²
    abs(-0.03216566--0.03221360)×1.69449356682838e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.69449356682838e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.69449356682838e-05×40589641000000     		ar = 13652.2748289486m²