Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64860 / 76948
↖ ↑ ↗
← S 29.888281°
W  1.856689°		 ← 264.75 m → S 29.888281°
W  1.853943°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 29.890662°
W  1.856689°		 ← 264.74 m →
70 099 m²		 S 29.890662°
W  1.853943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494846343994141 y=0.587070465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494846343994141 × 217)
    floor (0.494846343994141 × 131072)
    floor (64860.5)     		tx = 64860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587070465087891 × 217)
    floor (0.587070465087891 × 131072)
    floor (76948.5)     		ty = 76948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64860 / 76948 ti = "17/64860/76948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64860/76948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64860 ÷ 217
    64860 ÷ 131072     		x = 0.494842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76948 ÷ 217
    76948 ÷ 131072     		y = 0.587066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.01031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03240534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.17413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.547055898464081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03240534} λ = -0.03240534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547055898464081))-π/2
    2×atan(0.578650912082719)-π/2
    2×0.52457370838189-π/2
    1.04914741676378-1.57079632675     		φ = -0.52164891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03240534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.856689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52164891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.888281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64860 KachelY 76948 -0.03240534 -0.52164891 -1.856689 -29.888281
    Oben rechts KachelX + 1 64861 KachelY 76948 -0.03235741 -0.52164891 -1.853943 -29.888281
    Unten links KachelX 64860 KachelY + 1 76949 -0.03240534 -0.52169047 -1.856689 -29.890662
    Unten rechts KachelX + 1 64861 KachelY + 1 76949 -0.03235741 -0.52169047 -1.853943 -29.890662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52164891--0.52169047) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dl = 264.778759999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52164891--0.52169047) × R
    4.1559999999996e-05 × 6371000     		dr = 264.778759999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(-0.52164891) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.866998689662495 × 6371000     		do = 264.74847988265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(-0.52169047) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.866977979132798 × 6371000     		du = 264.742155673259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52164891)-sin(-0.52169047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866998689662495-0.866977979132798)×R²
    abs(-0.03235741--0.03240534)×2.07105296973209e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.07105296973209e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.07105296973209e-05×40589641000000     		ar = 70098.9369671664m²