Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64860 / 69109
↖ ↑ ↗
← S  9.765904°
W  1.856689°		 ← 300.94 m → S  9.765904°
W  1.853943°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.768611°
W  1.856689°		 ← 300.93 m →
90 591 m²		 S  9.768611°
W  1.853943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494846343994141 y=0.527263641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494846343994141 × 217)
    floor (0.494846343994141 × 131072)
    floor (64860.5)     		tx = 64860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527263641357422 × 217)
    floor (0.527263641357422 × 131072)
    floor (69109.5)     		ty = 69109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64860 / 69109 ti = "17/64860/69109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64860/69109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64860 ÷ 217
    64860 ÷ 131072     		x = 0.494842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69109 ÷ 217
    69109 ÷ 131072     		y = 0.527259826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.01031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03240534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527259826660156 × 2 - 1) × π
    -0.0545196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.171278542342461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03240534} λ = -0.03240534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171278542342461))-π/2
    2×atan(0.842586844668742)-π/2
    2×0.700174570982668-π/2
    1.40034914196534-1.57079632675     		φ = -0.17044718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03240534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.856689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17044718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.765904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64860 KachelY 69109 -0.03240534 -0.17044718 -1.856689 -9.765904
    Oben rechts KachelX + 1 64861 KachelY 69109 -0.03235741 -0.17044718 -1.853943 -9.765904
    Unten links KachelX 64860 KachelY + 1 69110 -0.03240534 -0.17049443 -1.856689 -9.768611
    Unten rechts KachelX + 1 64861 KachelY + 1 69110 -0.03235741 -0.17049443 -1.853943 -9.768611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17044718--0.17049443) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17044718--0.17049443) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(-0.17044718) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985509013405559 × 6371000     		do = 300.937032916785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03240534--0.03235741) × cos(-0.17049443) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985500997615591 × 6371000     		du = 300.934585198888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17044718)-sin(-0.17049443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985509013405559-0.985500997615591)×R²
    abs(-0.03235741--0.03240534)×8.01578996756369e-06×R²
    4.79299999999946e-05×8.01578996756369e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×8.01578996756369e-06×40589641000000     		ar = 90590.6313835911m²