Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64859 / 69159
↖ ↑ ↗
← S  9.901215°
W  1.859436°		 ← 300.88 m → S  9.901215°
W  1.856689°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.903922°
W  1.859436°		 ← 300.87 m →
90 534 m²		 S  9.903922°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494838714599609 y=0.527645111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494838714599609 × 217)
    floor (0.494838714599609 × 131072)
    floor (64859.5)     		tx = 64859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527645111083984 × 217)
    floor (0.527645111083984 × 131072)
    floor (69159.5)     		ty = 69159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64859 / 69159 ti = "17/64859/69159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64859/69159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64859 ÷ 217
    64859 ÷ 131072     		x = 0.494834899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69159 ÷ 217
    69159 ÷ 131072     		y = 0.527641296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494834899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03245328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527641296386719 × 2 - 1) × π
    -0.0552825927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.173675387323463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03245328} λ = -0.03245328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173675387323463))-π/2
    2×atan(0.840569712960723)-π/2
    2×0.698993755967817-π/2
    1.39798751193563-1.57079632675     		φ = -0.17280881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03245328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17280881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.901215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64859 KachelY 69159 -0.03245328 -0.17280881 -1.859436 -9.901215
    Oben rechts KachelX + 1 64860 KachelY 69159 -0.03240534 -0.17280881 -1.856689 -9.901215
    Unten links KachelX 64859 KachelY + 1 69160 -0.03245328 -0.17285604 -1.859436 -9.903922
    Unten rechts KachelX + 1 64860 KachelY + 1 69160 -0.03240534 -0.17285604 -1.856689 -9.903922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17280881--0.17285604) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17280881--0.17285604) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(-0.17280881) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985105678620137 × 6371000     		do = 300.876630870778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(-0.17285604) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985097556322991 × 6371000     		du = 300.874150112162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17280881)-sin(-0.17285604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985105678620137-0.985097556322991)×R²
    abs(-0.03240534--0.03245328)×8.12229714575174e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.12229714575174e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.12229714575174e-06×40589641000000     		ar = 90534.1060553749m²