Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64859 / 69139
↖ ↑ ↗
← S  9.847098°
W  1.859436°		 ← 300.93 m → S  9.847098°
W  1.856689°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.849804°
W  1.859436°		 ← 300.92 m →
90 549 m²		 S  9.849804°
W  1.856689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494838714599609 y=0.527492523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494838714599609 × 217)
    floor (0.494838714599609 × 131072)
    floor (64859.5)     		tx = 64859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527492523193359 × 217)
    floor (0.527492523193359 × 131072)
    floor (69139.5)     		ty = 69139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64859 / 69139 ti = "17/64859/69139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64859/69139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64859 ÷ 217
    64859 ÷ 131072     		x = 0.494834899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69139 ÷ 217
    69139 ÷ 131072     		y = 0.527488708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494834899902344 × 2 - 1) × π
    -0.0103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03245328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527488708496094 × 2 - 1) × π
    -0.0549774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.172716649331062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03245328} λ = -0.03245328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172716649331062))-π/2
    2×atan(0.841375985520108)-π/2
    2×0.699466023944314-π/2
    1.39893204788863-1.57079632675     		φ = -0.17186428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03245328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.859436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17186428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.847098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64859 KachelY 69139 -0.03245328 -0.17186428 -1.859436 -9.847098
    Oben rechts KachelX + 1 64860 KachelY 69139 -0.03240534 -0.17186428 -1.856689 -9.847098
    Unten links KachelX 64859 KachelY + 1 69140 -0.03245328 -0.17191151 -1.859436 -9.849804
    Unten rechts KachelX + 1 64860 KachelY + 1 69140 -0.03240534 -0.17191151 -1.856689 -9.849804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17186428--0.17191151) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dl = 300.902329999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17186428--0.17191151) × R
    4.72299999999815e-05 × 6371000     		dr = 300.902329999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(-0.17186428) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985267651103437 × 6371000     		do = 300.92610143635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03245328--0.03240534) × cos(-0.17191151) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985259572755441 × 6371000     		du = 300.923634100935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17186428)-sin(-0.17191151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985267651103437-0.985259572755441)×R²
    abs(-0.03240534--0.03245328)×8.07834799643192e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.07834799643192e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.07834799643192e-06×40589641000000     		ar = 90548.9938833161m²