Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64857 / 69151
↖ ↑ ↗
← S  9.879570°
W  1.864929°		 ← 300.83 m → S  9.879570°
W  1.862183°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.882275°
W  1.864929°		 ← 300.83 m →
90 502 m²		 S  9.882275°
W  1.862183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494823455810547 y=0.527584075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494823455810547 × 217)
    floor (0.494823455810547 × 131072)
    floor (64857.5)     		tx = 64857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527584075927734 × 217)
    floor (0.527584075927734 × 131072)
    floor (69151.5)     		ty = 69151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64857 / 69151 ti = "17/64857/69151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64857/69151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64857 ÷ 217
    64857 ÷ 131072     		x = 0.494819641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69151 ÷ 217
    69151 ÷ 131072     		y = 0.527580261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494819641113281 × 2 - 1) × π
    -0.0103607177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03254915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.0551605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.173291892126503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03254915} λ = -0.03254915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173291892126503))-π/2
    2×atan(0.840892129226947)-π/2
    2×0.699182653839371-π/2
    1.39836530767874-1.57079632675     		φ = -0.17243102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03254915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.864929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17243102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.879570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64857 KachelY 69151 -0.03254915 -0.17243102 -1.864929 -9.879570
    Oben rechts KachelX + 1 64858 KachelY 69151 -0.03250122 -0.17243102 -1.862183 -9.879570
    Unten links KachelX 64857 KachelY + 1 69152 -0.03254915 -0.17247824 -1.864929 -9.882275
    Unten rechts KachelX + 1 64858 KachelY + 1 69152 -0.03250122 -0.17247824 -1.862183 -9.882275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17243102--0.17247824) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17243102--0.17247824) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03254915--0.03250122) × cos(-0.17243102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985170569308745 × 6371000     		do = 300.833684940384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03254915--0.03250122) × cos(-0.17247824) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985162466305611 × 6371000     		du = 300.831210590898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17243102)-sin(-0.17247824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985170569308745-0.985162466305611)×R²
    abs(-0.03250122--0.03254915)×8.10300313358603e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.10300313358603e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.10300313358603e-06×40589641000000     		ar = 90502.0184538391m²