Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64855 / 69143
↖ ↑ ↗
← S  9.857922°
W  1.870422°		 ← 300.92 m → S  9.857922°
W  1.867676°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.860628°
W  1.870422°		 ← 300.91 m →
90 546 m²		 S  9.860628°
W  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494808197021484 y=0.527523040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494808197021484 × 217)
    floor (0.494808197021484 × 131072)
    floor (64855.5)     		tx = 64855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527523040771484 × 217)
    floor (0.527523040771484 × 131072)
    floor (69143.5)     		ty = 69143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64855 / 69143 ti = "17/64855/69143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64855/69143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64855 ÷ 217
    64855 ÷ 131072     		x = 0.494804382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69143 ÷ 217
    69143 ÷ 131072     		y = 0.527519226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494804382324219 × 2 - 1) × π
    -0.0103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03264503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527519226074219 × 2 - 1) × π
    -0.0550384521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.172908396929543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03264503} λ = -0.03264503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172908396929543))-π/2
    2×atan(0.841214669161972)-π/2
    2×0.699371564140676-π/2
    1.39874312828135-1.57079632675     		φ = -0.17205320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03264503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.870422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17205320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.857922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64855 KachelY 69143 -0.03264503 -0.17205320 -1.870422 -9.857922
    Oben rechts KachelX + 1 64856 KachelY 69143 -0.03259709 -0.17205320 -1.867676 -9.857922
    Unten links KachelX 64855 KachelY + 1 69144 -0.03264503 -0.17210043 -1.870422 -9.860628
    Unten rechts KachelX + 1 64856 KachelY + 1 69144 -0.03259709 -0.17210043 -1.867676 -9.860628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17205320--0.17210043) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17205320--0.17210043) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03264503--0.03259709) × cos(-0.17205320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985235324524773 × 6371000     		do = 300.916228067096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03264503--0.03259709) × cos(-0.17210043) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985227237385717 × 6371000     		du = 300.913758046665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17205320)-sin(-0.17210043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985235324524773-0.985227237385717)×R²
    abs(-0.03259709--0.03264503)×8.08713905553482e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.08713905553482e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.08713905553482e-06×40589641000000     		ar = 90546.0225595723m²