Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64855 / 69111
↖ ↑ ↗
← S  9.771318°
W  1.870422°		 ← 300.99 m → S  9.771318°
W  1.867676°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.774025°
W  1.870422°		 ← 300.99 m →
90 589 m²		 S  9.774025°
W  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494808197021484 y=0.527278900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494808197021484 × 217)
    floor (0.494808197021484 × 131072)
    floor (64855.5)     		tx = 64855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527278900146484 × 217)
    floor (0.527278900146484 × 131072)
    floor (69111.5)     		ty = 69111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64855 / 69111 ti = "17/64855/69111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64855/69111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64855 ÷ 217
    64855 ÷ 131072     		x = 0.494804382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69111 ÷ 217
    69111 ÷ 131072     		y = 0.527275085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494804382324219 × 2 - 1) × π
    -0.0103912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03264503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527275085449219 × 2 - 1) × π
    -0.0545501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.171374416141701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03264503} λ = -0.03264503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171374416141701))-π/2
    2×atan(0.842506066539069)-π/2
    2×0.700127329120261-π/2
    1.40025465824052-1.57079632675     		φ = -0.17054167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03264503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.870422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17054167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.771318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64855 KachelY 69111 -0.03264503 -0.17054167 -1.870422 -9.771318
    Oben rechts KachelX + 1 64856 KachelY 69111 -0.03259709 -0.17054167 -1.867676 -9.771318
    Unten links KachelX 64855 KachelY + 1 69112 -0.03264503 -0.17058891 -1.870422 -9.774025
    Unten rechts KachelX + 1 64856 KachelY + 1 69112 -0.03259709 -0.17058891 -1.867676 -9.774025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17054167--0.17058891) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17054167--0.17058891) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03264503--0.03259709) × cos(-0.17054167) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985492981322593 × 6371000     		do = 300.994923085236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03264503--0.03259709) × cos(-0.17058891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985484962830351 × 6371000     		du = 300.992474031309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17054167)-sin(-0.17058891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985492981322593-0.985484962830351)×R²
    abs(-0.03259709--0.03264503)×8.01849224174589e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.01849224174589e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.01849224174589e-06×40589641000000     		ar = 90588.8815368948m²