Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64853 / 69110
↖ ↑ ↗
← S  9.768611°
W  1.875915°		 ← 300.93 m → S  9.768611°
W  1.873169°		 →
↑
300.97 m
↓
↑
300.97 m
↓
S  9.771318°
W  1.875915°		 ← 300.93 m →
90 571 m²		 S  9.771318°
W  1.873169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494792938232422 y=0.527271270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494792938232422 × 217)
    floor (0.494792938232422 × 131072)
    floor (64853.5)     		tx = 64853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527271270751953 × 217)
    floor (0.527271270751953 × 131072)
    floor (69110.5)     		ty = 69110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64853 / 69110 ti = "17/64853/69110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64853/69110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64853 ÷ 217
    64853 ÷ 131072     		x = 0.494789123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69110 ÷ 217
    69110 ÷ 131072     		y = 0.527267456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494789123535156 × 2 - 1) × π
    -0.0104217529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03274090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527267456054688 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.171326479242081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03274090} λ = -0.03274090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171326479242081))-π/2
    2×atan(0.842546454635842)-π/2
    2×0.700150949955405-π/2
    1.40030189991081-1.57079632675     		φ = -0.17049443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03274090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.875915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17049443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.768611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64853 KachelY 69110 -0.03274090 -0.17049443 -1.875915 -9.768611
    Oben rechts KachelX + 1 64854 KachelY 69110 -0.03269297 -0.17049443 -1.873169 -9.768611
    Unten links KachelX 64853 KachelY + 1 69111 -0.03274090 -0.17054167 -1.875915 -9.771318
    Unten rechts KachelX + 1 64854 KachelY + 1 69111 -0.03269297 -0.17054167 -1.873169 -9.771318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17049443--0.17054167) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dl = 300.966040000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17049443--0.17054167) × R
    4.72400000000039e-05 × 6371000     		dr = 300.966040000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03274090--0.03269297) × cos(-0.17049443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985500997615591 × 6371000     		do = 300.934585198932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03274090--0.03269297) × cos(-0.17054167) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985492981322593 × 6371000     		du = 300.932137327429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17049443)-sin(-0.17054167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985500997615591-0.985492981322593)×R²
    abs(-0.03269297--0.03274090)×8.01629299818085e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.01629299818085e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.01629299818085e-06×40589641000000     		ar = 90570.7220601114m²