Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64852 / 69180
↖ ↑ ↗
← S  9.958030°
W  1.878662°		 ← 300.82 m → S  9.958030°
W  1.875915°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S  9.960735°
W  1.878662°		 ← 300.82 m →
90 480 m²		 S  9.960735°
W  1.875915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494785308837891 y=0.527805328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494785308837891 × 217)
    floor (0.494785308837891 × 131072)
    floor (64852.5)     		tx = 64852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527805328369141 × 217)
    floor (0.527805328369141 × 131072)
    floor (69180.5)     		ty = 69180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64852 / 69180 ti = "17/64852/69180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64852/69180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64852 ÷ 217
    64852 ÷ 131072     		x = 0.494781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69180 ÷ 217
    69180 ÷ 131072     		y = 0.527801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01043701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03278884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.05560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.174682062215485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03278884} λ = -0.03278884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174682062215485))-π/2
    2×atan(0.839723958307103)-π/2
    2×0.698497958385132-π/2
    1.39699591677026-1.57079632675     		φ = -0.17380041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03278884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.878662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17380041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.958030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64852 KachelY 69180 -0.03278884 -0.17380041 -1.878662 -9.958030
    Oben rechts KachelX + 1 64853 KachelY 69180 -0.03274090 -0.17380041 -1.875915 -9.958030
    Unten links KachelX 64852 KachelY + 1 69181 -0.03278884 -0.17384762 -1.878662 -9.960735
    Unten rechts KachelX + 1 64853 KachelY + 1 69181 -0.03274090 -0.17384762 -1.875915 -9.960735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17380041--0.17384762) × R
    4.72100000000197e-05 × 6371000     		dl = 300.774910000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17380041--0.17384762) × R
    4.72100000000197e-05 × 6371000     		dr = 300.774910000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03278884--0.03274090) × cos(-0.17380041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984934688716997 × 6371000     		do = 300.824406153035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03278884--0.03274090) × cos(-0.17384762) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984926523747789 × 6371000     		du = 300.821912361273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17380041)-sin(-0.17384762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984934688716997-0.984926523747789)×R²
    abs(-0.03274090--0.03278884)×8.16496920807985e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.16496920807985e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.16496920807985e-06×40589641000000     		ar = 90480.0586683745m²