Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64851 / 69160
↖ ↑ ↗
← S  9.903922°
W  1.881409°		 ← 300.87 m → S  9.903922°
W  1.878662°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.906627°
W  1.881409°		 ← 300.87 m →
90 514 m²		 S  9.906627°
W  1.878662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494777679443359 y=0.527652740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494777679443359 × 217)
    floor (0.494777679443359 × 131072)
    floor (64851.5)     		tx = 64851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527652740478516 × 217)
    floor (0.527652740478516 × 131072)
    floor (69160.5)     		ty = 69160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64851 / 69160 ti = "17/64851/69160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64851/69160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64851 ÷ 217
    64851 ÷ 131072     		x = 0.494773864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69160 ÷ 217
    69160 ÷ 131072     		y = 0.52764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494773864746094 × 2 - 1) × π
    -0.0104522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03283678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0552978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.173723324223084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03283678} λ = -0.03283678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173723324223084))-π/2
    2×atan(0.840529419620546)-π/2
    2×0.698970144609142-π/2
    1.39794028921828-1.57079632675     		φ = -0.17285604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03283678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.881409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17285604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.903922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64851 KachelY 69160 -0.03283678 -0.17285604 -1.881409 -9.903922
    Oben rechts KachelX + 1 64852 KachelY 69160 -0.03278884 -0.17285604 -1.878662 -9.903922
    Unten links KachelX 64851 KachelY + 1 69161 -0.03283678 -0.17290326 -1.881409 -9.906627
    Unten rechts KachelX + 1 64852 KachelY + 1 69161 -0.03278884 -0.17290326 -1.878662 -9.906627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17285604--0.17290326) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17285604--0.17290326) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03283678--0.03278884) × cos(-0.17285604) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985097556322991 × 6371000     		do = 300.874150112162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03283678--0.03278884) × cos(-0.17290326) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985089433548845 × 6371000     		du = 300.871669207857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17285604)-sin(-0.17290326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985097556322991-0.985089433548845)×R²
    abs(-0.03278884--0.03283678)×8.1227741457468e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.1227741457468e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.1227741457468e-06×40589641000000     		ar = 90514.1909543321m²