Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64850 / 69076
↖ ↑ ↗
← S  9.676568°
W  1.884155°		 ← 301.02 m → S  9.676568°
W  1.881409°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.679276°
W  1.884155°		 ← 301.02 m →
90 634 m²		 S  9.679276°
W  1.881409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494770050048828 y=0.527011871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494770050048828 × 217)
    floor (0.494770050048828 × 131072)
    floor (64850.5)     		tx = 64850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527011871337891 × 217)
    floor (0.527011871337891 × 131072)
    floor (69076.5)     		ty = 69076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64850 / 69076 ti = "17/64850/69076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64850/69076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64850 ÷ 217
    64850 ÷ 131072     		x = 0.494766235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69076 ÷ 217
    69076 ÷ 131072     		y = 0.527008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494766235351562 × 2 - 1) × π
    -0.010467529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03288471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.05401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169696624654999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03288471} λ = -0.03288471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169696624654999))-π/2
    2×atan(0.843920802529131)-π/2
    2×0.700954172326363-π/2
    1.40190834465273-1.57079632675     		φ = -0.16888798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03288471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.884155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16888798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.676568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64850 KachelY 69076 -0.03288471 -0.16888798 -1.884155 -9.676568
    Oben rechts KachelX + 1 64851 KachelY 69076 -0.03283678 -0.16888798 -1.881409 -9.676568
    Unten links KachelX 64850 KachelY + 1 69077 -0.03288471 -0.16893524 -1.884155 -9.679276
    Unten rechts KachelX + 1 64851 KachelY + 1 69077 -0.03283678 -0.16893524 -1.881409 -9.679276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16888798--0.16893524) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16888798--0.16893524) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03288471--0.03283678) × cos(-0.16888798) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985772291645274 × 6371000     		do = 301.017428094519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03288471--0.03283678) × cos(-0.16893524) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.985764346788014 × 6371000     		du = 301.015002036778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16888798)-sin(-0.16893524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985772291645274-0.985764346788014)×R²
    abs(-0.03283678--0.03288471)×7.94485725985616e-06×R²
    4.79299999999946e-05×7.94485725985616e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×7.94485725985616e-06×40589641000000     		ar = 90634.0137270813m²