Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64847 / 69164
↖ ↑ ↗
← S  9.914744°
W  1.892395°		 ← 300.80 m → S  9.914744°
W  1.889649°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
S  9.917450°
W  1.892395°		 ← 300.80 m →
90 511 m²		 S  9.917450°
W  1.889649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494747161865234 y=0.527683258056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494747161865234 × 217)
    floor (0.494747161865234 × 131072)
    floor (64847.5)     		tx = 64847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527683258056641 × 217)
    floor (0.527683258056641 × 131072)
    floor (69164.5)     		ty = 69164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64847 / 69164 ti = "17/64847/69164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64847/69164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64847 ÷ 217
    64847 ÷ 131072     		x = 0.494743347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69164 ÷ 217
    69164 ÷ 131072     		y = 0.527679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494743347167969 × 2 - 1) × π
    -0.0105133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03302852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.05535888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173915071821564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03302852} λ = -0.03302852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173915071821564))-π/2
    2×atan(0.840368265573826)-π/2
    2×0.698875701121694-π/2
    1.39775140224339-1.57079632675     		φ = -0.17304492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03302852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.892395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17304492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.914744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64847 KachelY 69164 -0.03302852 -0.17304492 -1.892395 -9.914744
    Oben rechts KachelX + 1 64848 KachelY 69164 -0.03298059 -0.17304492 -1.889649 -9.914744
    Unten links KachelX 64847 KachelY + 1 69165 -0.03302852 -0.17309215 -1.892395 -9.917450
    Unten rechts KachelX + 1 64848 KachelY + 1 69165 -0.03298059 -0.17309215 -1.889649 -9.917450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17304492--0.17309215) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17304492--0.17309215) × R
    4.72300000000092e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03302852--0.03298059) × cos(-0.17304492) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985065052047589 × 6371000     		do = 300.801463975317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03302852--0.03298059) × cos(-0.17309215) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985056918765334 × 6371000     		du = 300.798980379737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17304492)-sin(-0.17309215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985065052047589-0.985056918765334)×R²
    abs(-0.03298059--0.03302852)×8.13328225568455e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.13328225568455e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.13328225568455e-06×40589641000000     		ar = 90511.4877345986m²