Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64846 / 69166
↖ ↑ ↗
← S  9.920155°
W  1.895142°		 ← 300.86 m → S  9.920155°
W  1.892395°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.922861°
W  1.895142°		 ← 300.86 m →
90 510 m²		 S  9.922861°
W  1.892395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494739532470703 y=0.527698516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494739532470703 × 217)
    floor (0.494739532470703 × 131072)
    floor (64846.5)     		tx = 64846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527698516845703 × 217)
    floor (0.527698516845703 × 131072)
    floor (69166.5)     		ty = 69166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64846 / 69166 ti = "17/64846/69166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64846/69166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64846 ÷ 217
    64846 ÷ 131072     		x = 0.494735717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69166 ÷ 217
    69166 ÷ 131072     		y = 0.527694702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494735717773438 × 2 - 1) × π
    -0.010528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03307646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.055389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.174010945620804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03307646} λ = -0.03307646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174010945620804))-π/2
    2×atan(0.840287700137563)-π/2
    2×0.698828480547038-π/2
    1.39765696109408-1.57079632675     		φ = -0.17313937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03307646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.895142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17313937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.920155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64846 KachelY 69166 -0.03307646 -0.17313937 -1.895142 -9.920155
    Oben rechts KachelX + 1 64847 KachelY 69166 -0.03302852 -0.17313937 -1.892395 -9.920155
    Unten links KachelX 64846 KachelY + 1 69167 -0.03307646 -0.17318659 -1.895142 -9.922861
    Unten rechts KachelX + 1 64847 KachelY + 1 69167 -0.03302852 -0.17318659 -1.892395 -9.922861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17313937--0.17318659) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dl = 300.838620000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17313937--0.17318659) × R
    4.72200000000145e-05 × 6371000     		dr = 300.838620000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03307646--0.03302852) × cos(-0.17313937) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985048785008494 × 6371000     		do = 300.859254097341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03307646--0.03302852) × cos(-0.17318659) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985040649055264 × 6371000     		du = 300.856769167805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17313937)-sin(-0.17318659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985048785008494-0.985040649055264)×R²
    abs(-0.03302852--0.03307646)×8.13595323034821e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.13595323034821e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.13595323034821e-06×40589641000000     		ar = 90509.7090523494m²