Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64846 / 69105
↖ ↑ ↗
← S  9.755077°
W  1.895142°		 ← 301.01 m → S  9.755077°
W  1.892395°		 →
↑
301.03 m
↓
↑
301.03 m
↓
S  9.757784°
W  1.895142°		 ← 301.01 m →
90 612 m²		 S  9.757784°
W  1.892395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494739532470703 y=0.527233123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494739532470703 × 217)
    floor (0.494739532470703 × 131072)
    floor (64846.5)     		tx = 64846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527233123779297 × 217)
    floor (0.527233123779297 × 131072)
    floor (69105.5)     		ty = 69105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64846 / 69105 ti = "17/64846/69105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64846/69105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64846 ÷ 217
    64846 ÷ 131072     		x = 0.494735717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69105 ÷ 217
    69105 ÷ 131072     		y = 0.527229309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494735717773438 × 2 - 1) × π
    -0.010528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03307646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527229309082031 × 2 - 1) × π
    -0.0544586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17108679474398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03307646} λ = -0.03307646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17108679474398))-π/2
    2×atan(0.842748424163463)-π/2
    2×0.700269057011889-π/2
    1.40053811402378-1.57079632675     		φ = -0.17025821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03307646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.895142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17025821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.755077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64846 KachelY 69105 -0.03307646 -0.17025821 -1.895142 -9.755077
    Oben rechts KachelX + 1 64847 KachelY 69105 -0.03302852 -0.17025821 -1.892395 -9.755077
    Unten links KachelX 64846 KachelY + 1 69106 -0.03307646 -0.17030546 -1.895142 -9.757784
    Unten rechts KachelX + 1 64847 KachelY + 1 69106 -0.03302852 -0.17030546 -1.892395 -9.757784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17025821--0.17030546) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dl = 301.029749999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17025821--0.17030546) × R
    4.72499999999987e-05 × 6371000     		dr = 301.029749999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03307646--0.03302852) × cos(-0.17025821) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985541049480041 × 6371000     		do = 301.009604337839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03307646--0.03302852) × cos(-0.17030546) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.985533042489625 × 6371000     		du = 301.007158796866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17025821)-sin(-0.17030546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985541049480041-0.985533042489625)×R²
    abs(-0.03302852--0.03307646)×8.00699041536568e-06×R²
    4.79400000000033e-05×8.00699041536568e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×8.00699041536568e-06×40589641000000     		ar = 90612.4778679435m²