Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64845 / 69163
↖ ↑ ↗
← S  9.912038°
W  1.897888°		 ← 300.87 m → S  9.912038°
W  1.895142°		 →
↑
300.84 m
↓
↑
300.84 m
↓
S  9.914744°
W  1.897888°		 ← 300.86 m →
90 512 m²		 S  9.914744°
W  1.895142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.494731903076172 y=0.527675628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.494731903076172 × 217)
    floor (0.494731903076172 × 131072)
    floor (64845.5)     		tx = 64845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527675628662109 × 217)
    floor (0.527675628662109 × 131072)
    floor (69163.5)     		ty = 69163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64845 / 69163 ti = "17/64845/69163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64845/69163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64845 ÷ 217
    64845 ÷ 131072     		x = 0.494728088378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69163 ÷ 217
    69163 ÷ 131072     		y = 0.527671813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494728088378906 × 2 - 1) × π
    -0.0105438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03312440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527671813964844 × 2 - 1) × π
    -0.0553436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.173867134921944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03312440} λ = -0.03312440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.173867134921944))-π/2
    2×atan(0.840408551188593)-π/2
    2×0.698899311701366-π/2
    1.39779862340273-1.57079632675     		φ = -0.17299770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03312440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.897888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17299770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.912038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64845 KachelY 69163 -0.03312440 -0.17299770 -1.897888 -9.912038
    Oben rechts KachelX + 1 64846 KachelY 69163 -0.03307646 -0.17299770 -1.895142 -9.912038
    Unten links KachelX 64845 KachelY + 1 69164 -0.03312440 -0.17304492 -1.897888 -9.914744
    Unten rechts KachelX + 1 64846 KachelY + 1 69164 -0.03307646 -0.17304492 -1.895142 -9.914744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17299770--0.17304492) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dl = 300.838619999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17299770--0.17304492) × R
    4.72199999999867e-05 × 6371000     		dr = 300.838619999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03312440--0.03307646) × cos(-0.17299770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985073181411126 × 6371000     		do = 300.866705386624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03312440--0.03307646) × cos(-0.17304492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.985065052047589 × 6371000     		du = 300.86422246975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17299770)-sin(-0.17304492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985073181411126-0.985065052047589)×R²
    abs(-0.03307646--0.03312440)×8.12936353700167e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.12936353700167e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.12936353700167e-06×40589641000000     		ar = 90511.9509906061m²